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Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

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f (x) = sin (x)

werden zwei mathematische Vorkenntnisse benötigt:

1)

sin x - sin y = 2 \cdot cos (\frac{x + y}{2}) \cdot sin (\frac{x - y}{2}),

(Rechenregel für Sinusdifferenzen)

2) Der Grenzwert

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

Sind diese beiden Vorkenntnisse vorhanden lässt sich der Beweis über den Differentialquotienten mit der h-Methode führen.

[

]

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{sin (x + h) - sin (x)}{h}

Nach der Rechenregel für Sinusdifferenzen lässt sich der Zähler umschreiben:

sin (x + h) - sin (x) = 2 \cdot cos (\frac{2 x + h}{2}) \cdot sin (\frac{h}{2}) = 2 \cdot cos (x + \frac{h}{2}) \cdot sin (\frac{h}{2})

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot cos (x + \frac{h}{2}) \cdot sin (\frac{h}{2})}{h}

Der Faktor 2 im Zähler lässt sich nun noch als

\frac{1}{2}

in Nenner bringen:

f' (x) = lim_{h \to 0} cos (x + \frac{h}{2}) \cdot \frac{sin (\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}

Da

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

und somit auch

\frac{sin (\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = 1

ist, gilt:

f' (x) = cos (x)

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