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Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie leitet man die Sinusfunktion ab?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
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Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Für die Ableitungsfunktion der Funktion f(x)=sin(x) werden zwei mathematische Vorkenntnisse benötigt:

1) sinx-siny=2cos(x+y2)sin(x-y2),   (Rechenregel für Sinusdifferenzen)

2) Der Grenzwert   limx0sin(x)x=1

Sind diese beiden Vorkenntnisse vorhanden lässt sich der Beweis über den Differentialquotienten mit der h-Methode führen.

[]

f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h

f'(x)=limh0sin(x+h)-sin(x)h

Nach der Rechenregel für Sinusdifferenzen lässt sich der Zähler umschreiben:

sin(x+h)-sin(x)=2cos(2x+h2)sin(h2)=2cos(x+h2)sin(h2)

f'(x)=limh02cos(x+h2)sin(h2)h

Der Faktor 2 im Zähler lässt sich nun noch als 12 in Nenner bringen:

f'(x)=limh0cos(x+h2)sin(h2)h2

Da limx0sin(x)x=1 und somit auch sin(h2)h2=1 ist, gilt:

f'(x)=cos(x)

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