Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Bestimmung spezieller Werte für Sinus bzw. Kosinus

Bestimmung spezieller Werte für Sinus bzw. Kosinus

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie bestimmt man spezielle Werte für Sinus bzw. Kosinus?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Sinus und Kosinus von 0°

Betrachtet man einen Einheitskreis (s. Bild) dann lässt sich jeder Punkt auf dem Kreis eindeutig festlegen als Schnittpunkt des Schenkels eines Winkels α und dem Einheitskreis selbst.

Für die Koordinaten des Punktes P gilt:

xP     ist der Kosinus des Winkels α
yP     ist der Sinus des Winkels α

Der Punk P(1|0) spiegelt also die Sinus- u. Kosinuswerte eines Winkels von 0°

sin=1
cos=0

Zur Überprüfung kann man nachrechnen:

sin2x+cos2x=12+02=12=1

Winkel 0_final
Sinus und Kosinus von β= 30°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck AB'C mit Hypotenuse c (siehe Bild).

Winkel 3060

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

α= 180° - 90° -β= 60°

Man kann also leicht das gleichseitige Dreieck AB C(alle Seiten und Winkeln haben dieselbe Länge und Größe) konstruieren. Alle Seiten haben die Länge c und alle Winkel sind 60° groß. h=B'C ist die Höhe des Dreiecks.

Aus   AB=c   folgt   AB'=c2

Im rechtwinkligen Dreieck AB'C gilt für die Höhe h (Satz des Pythagoras):

h=c2-(c2)2=34c2=c23

Es folgt also für den Winkel β:

sin(30°) =sinβ=AB'AC=c2c=12

cos(30°) =cosβ=B'CAB'=hc=c23c=32


Sinus und Kosinus von α= 45°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit Ankathete a=AB zum Winkel α (siehe Bild).

Winkel 45

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

β= 180° - 90° -α= 45°

Das Dreieck ABC ist also ein gleichschenkliges Dreieck (2 Winkel sind gleich, also auch 2 Seiten). Es folgt somit:

AB=BC=a

AC=a2+a2=2a     (Pythagoras)


Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt für den Winkel α:

sin(45°) =sinα=BCAC=a2a=12=1222=22

cos(45°) =cosα=ABAC=a2a=12=1222=22


Sinus und Kosinus von α= 60°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck AB'C mit Hypotenuse c (siehe Bild).

Winkel 3060

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

β= 180° - 90° -α= 30°

Man kann also leicht das gleichseitige Dreieck AB C(alle Seiten und Winkeln haben dieselbe Länge und Größe) konstruieren. Alle Seiten haben die Länge c und alle Winkel sind 60° groß. h=B'C ist die Höhe des Dreiecks.

Aus   AB=c   folgt   AB'=c2

Im rechtwinkligen Dreieck AB'C gilt für die Höhe h (Satz des Pythagoras):

h=c2-(c2)2=34c2=c23

Es folgt also für den Winkel α:

sin(60°) =sinα=B'CAB'=hc=c23c=32

cos(60°) =cosα=AB'AC=c2c=12


Sinus und Kosinus von 90°

Betrachtet man einen Einheitskreis (s. Bild) dann lässt sich jeder Punkt auf dem Kreis eindeutig festlegen als Schnittpunkt des Schenkels eines Winkels α und dem Einheitskreis selbst.

Für die Koordinaten des Punktes P gilt:

xP     ist der Kosinus des Winkels α
yP     ist der Sinus des Winkels α

Der Punk P(0|1) spiegelt also die Sinus- u. Kosinuswerte eines Winkels von 90°

sin 90° =0
cos 90° =1

Zur Überprüfung kann man nachrechnen:

sin2x+cos2x=02+12=12=1


Winkel 90_final
Wie hilft Dir dieser Artikel?
 
Diese Erklärung hat mir geholfen
 
Diese Erklärung hat mir teilweise geholfen
 
Diese Erklärung hat mir nicht geholfen
 
Ich habe eine Frage zu diesem Thema