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Bestimmung spezieller Werte für Sinus bzw. Kosinus

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Sinus und Kosinus von 0°

Betrachtet man einen Einheitskreis (s. Bild) dann lässt sich jeder Punkt auf dem Kreis eindeutig festlegen als Schnittpunkt des Schenkels eines Winkels α und dem Einheitskreis selbst.

Für die Koordinaten des Punktes P gilt:

xP     ist der Kosinus des Winkels α
yP     ist der Sinus des Winkels α

Der Punk P(1|0) spiegelt also die Sinus- u. Kosinuswerte eines Winkels von 0°

sin=1
cos=0

Zur Überprüfung kann man nachrechnen:

sin2x+cos2x=12+02=12=1

Winkel 0_final
Sinus und Kosinus von β= 30°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck AB'C mit Hypotenuse c (siehe Bild).

Winkel 3060

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

α= 180° - 90° -β= 60°

Man kann also leicht das gleichseitige Dreieck AB C(alle Seiten und Winkeln haben dieselbe Länge und Größe) konstruieren. Alle Seiten haben die Länge c und alle Winkel sind 60° groß. h=B'C ist die Höhe des Dreiecks.

Aus   AB=c   folgt   AB'=c2

Im rechtwinkligen Dreieck AB'C gilt für die Höhe h (Satz des Pythagoras):

h=c2-(c2)2=34c2=c23

Es folgt also für den Winkel β:

sin(30°) =sinβ=AB'AC=c2c=12

cos(30°) =cosβ=B'CAB'=hc=c23c=32


Sinus und Kosinus von α= 45°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit Ankathete a=AB zum Winkel α (siehe Bild).

Winkel 45

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

β= 180° - 90° -α= 45°

Das Dreieck ABC ist also ein gleichschenkliges Dreieck (2 Winkel sind gleich, also auch 2 Seiten). Es folgt somit:

AB=BC=a

AC=a2+a2=2a     (Pythagoras)


Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt für den Winkel α:

sin(45°) =sinα=BCAC=a2a=12=1222=22

cos(45°) =cosα=ABAC=a2a=12=1222=22


Sinus und Kosinus von α= 60°

Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck AB'C mit Hypotenuse c (siehe Bild).

Winkel 3060

Wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck folgt:

β= 180° - 90° -α= 30°

Man kann also leicht das gleichseitige Dreieck AB C(alle Seiten und Winkeln haben dieselbe Länge und Größe) konstruieren. Alle Seiten haben die Länge c und alle Winkel sind 60° groß. h=B'C ist die Höhe des Dreiecks.

Aus   AB=c   folgt   AB'=c2

Im rechtwinkligen Dreieck AB'C gilt für die Höhe h (Satz des Pythagoras):

h=c2-(c2)2=34c2=c23

Es folgt also für den Winkel α:

sin(60°) =sinα=B'CAB'=hc=c23c=32

cos(60°) =cosα=AB'AC=c2c=12


Sinus und Kosinus von 90°

Betrachtet man einen Einheitskreis (s. Bild) dann lässt sich jeder Punkt auf dem Kreis eindeutig festlegen als Schnittpunkt des Schenkels eines Winkels α und dem Einheitskreis selbst.

Für die Koordinaten des Punktes P gilt:

xP     ist der Kosinus des Winkels α
yP     ist der Sinus des Winkels α

Der Punk P(0|1) spiegelt also die Sinus- u. Kosinuswerte eines Winkels von 90°

sin 90° =0
cos 90° =1

Zur Überprüfung kann man nachrechnen:

sin2x+cos2x=02+12=12=1


Winkel 90_final
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