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Seiten oder Winkel im allg. Dreieck mit Sinussatz

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines Dreiecks mit dem Sinussatz?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Im Folgenden werden die Seiten eines Dreiecks mit a,b und c bezeichnet, sowie die entsprechenden Maßen α,β und γ der gegenüber liegenden Winkel.

Gegeben: zwei Winkel, eine Seite
Gesucht sind die restlichen Seiten und Winkel des Dreiecks.

Sind zwei Winkel gegeben, dann ist wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck (α+β+γ= 180° ), der dritte Winkel leicht aus zu rechnen.

Die fehlenden Seiten werden dann mittels Sinussatz bestimmt.

Beispiel

Gegeben: α= 60° ,β= 40°, a=10cm

γ= 180° -(α+β)= 180° - (60°+40°) = 80°

Nach dem Sinussatz:

asinα=bsinβ=csinγ


folgt für die Seite b:

b=asinαsinβ=7,42cm

Die Seite c wird genauso berechnet:

c=asinαsinγ=11,37cm
Gegeben: zwei Seiten, ein Winkel
Gesucht sind die restlichen Seiten und Winkel des Dreiecks.

Sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben, dann muss man darauf achten, dass der angegebene Winkel nicht von den zwei Seiten eingeschlossen wird. Sollte dies der Fall sein, muss man auf den Kosinussatz zurückgreifen.


1) Beispiel

Gegeben: a=10 cm, b=5 cm α= 60°

Nach dem Sinussatz:

asinα=bsinβ=csinγ


folgt für den Winkel β:

sinβ=basinα=0,433

β1=sin-1(0,433)= 25,66°

Kann es einen Winkel β2 geben?
Theoretisch im 2. Quadranten, denn es gilt:   sin (180°- β1)=sin (154,34°) 0,433

Aber wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck muss gelten:   β2+α+γ= 180°
Da aber bereits   β2+α> 180°    ist, gibt es nur ein eindeutig festgelegtes Dreieck zu den gegebenen Größen.

γ wird nun über die Innenwinkelsumme im Dreieck bestimmt:

γ= 180° -(α+β)= 94,34°

Damit lässt sich auch c bestimmen (erneut mit dem Sinussatz):

c=asinαsinγ=11,51 cm



2) Beispiel

Gegeben: a=2 cm, b=5 cm α= 45°

Nach dem Sinussatz folgt für den Winkel β:

sinβ=basinα=1,18

Es gibt keinen Winkel β, da der Sinus keinen Wert außerhalb von [-1;1] annimmt.

Gegeben: zwei Winkel, eine Seite
Gesucht ist die Höhe des Dreiecks.

Sind zwei Winkel gegeben, dann ist wegen der Innenwinkelsumme in einem Dreieck (α+β+γ= 180° ), der dritte Winkel leicht aus zu rechnen.

Die fehlenden Seiten werden dann mittels Sinussatz bestimmt.


Beispiel

Gegeben: c=96m,α= 40°, β= 61°
Gesucht: die Höhe auf die Seite c:hc

Zunächst muss man γ bestimmen:
γ=180-(α+β)= 79°

Damit lässt sich a bestimmen:

asinα=csinγ    a=sinαsinγc    a62,86m

Somit kann man die Höhe hc über die Definition des Sinus ermitteln:

sinβ=hca   (das rechte, rechtwinklige Dreieck, das durch die Höhe entsteht)

hc54,98m
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