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Seiten oder Winkel mit Sinus und Kosinus bestimmen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie ermittelt man die Seiten oder Winkel eines rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe von Sinus und Kosinus?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
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Wird die Angabe von manchen Größen in einem rechtwinkligen Dreieck gemacht und danach gefragt die restlichen Größen zu bestimmen, behilft man sich der Beziehung zwischen Seiten und Winkel im Dreieck.


Gegeben: 2 Seiten
Gesucht sind alle anderen Größen des Dreiecks.

Im folgenden Beispiel werden die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks folgendermaßen betitelt:

a     Kathete
b     Kathete
c     Hypotenuse

α     Gegenwinkel zu a
β     Gegenwinkel zu b

Dreieck_neu



1. Beispiel

Gegeben: a=2,c=5

Für den Sinus des Winkels α gilt:

sinα=ac

Man rechnet leicht nach:

sinα=25

α=arcsin(25)= 23,56°

Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ist immer gleich 180°. Also folgt für den Winkel β:

β= 180° - 90° -α= 90° -23,56= 66,44°

Um die Seite b zu bestimmen kann man den Satz des Pythagoras verwenden oder man nützt die Eigenschaft des Kosinus des Winkels α. Für diesen gilt:

cosα=bc

Umstellen der obigen Gleichung nach b:

b=ccosα=5 cos(23,56°) =4,58



2. Beispiel

Gegeben: a=4,b=10

Für den Tangens des Winkels α gilt:

tanα=ab

Man rechnet leicht nach:

tanα=410

α=arctan(410)= 21,8°

Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ist immer gleich 180°. Also folgt für den Winkel β:

β= 180° - 90° -α= 90° -21,8= 68,2°

Um die Seite c zu bestimmen kann man den Satz des Pythagoras verwenden oder man nützt die Eigenschaft des Kosinus des Winkels α. Für diesen gilt:

cosα=bc

Umstellen der obigen Gleichung nach c:

c=bcosα=10cos(21,8)=10,77
Gegeben: 1 Seite und 1 Winkel
Gesucht sind die alle anderen Größen des Dreiecks.

Im folgenden Beispiel werden die Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks folgendermaßen betitelt:

a     Kathete
b     Kathete
c     Hypotenuse

α     Gegenwinkel zu a
β     Gegenwinkel zu b

Dreieck_neu



Beispiel

Gegeben: a=6,α= 30°

Für den Sinus des Winkels α gilt:

sinα=ac

Umstellen der obigen Gleichung nach c:

c=asinα=6sin(30)=12

Für den Kosinus des Winkels α gilt:

cosα=bc

Umstellen der obigen Gleichung nach b:

b=ccosα=12cos(30)= 10,39°

Da die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer gleich 180° ist, folgt für den Winkel β:

β= 180°- 90° -α= 90° - 30° = 60°




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