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Seiten oder Winkel eines Sehnenvierecks

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines Sehenvierecks?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
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Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Wenn es darum geht in einem Sehnenviereck Seiten oder Winkel zu bestimmen, dann muss man mit Winkelfunktionen, Sinus- und Kosinussatz arbeiten.

Wichtig ist folgende Tatsache:

Die Summe der Gegenwinkel in einem Sehnenviereck ist gleich 180°




Beispiel

Gegeben:

a=34 cm

d=39 cm

β= 93°

γ= 130°

Gesucht sind die restlichen Seiten und Winkel des Sehnenvierecks.


sehnenviereck_neu


Da die Summe der Gegenwinkel gleich 180° sein muss, ergeben sich folgende Werte für die restlichen 2 Winkeln:

α= 180° -γ= 180° -130° = 50°

ρ= 180° -β= 180° - 93° = 87°

Mit dem Kosinussatz ermittelt man die Diagonale e:

e2=a2+d2-2adcosα

e=a2+d2-2adcosα31,2 cm

Mit dem Sinussatz ermittel man den Winkel β' im Dreieck ABD:

dsinβ'=esinα

β'=sin-1(desinα)= 73,2°

Der andere Winkel von 106,8° kann nicht der gesuchte Winkel sein, denn β' muss ein Teilwinkel von β= 93° sein!

Für die restlichen Winkel im Dreieck DCB gilt dann:

β''=β-β'= 93° - 73,2° = 19,8°

ρ'= 180° -γ-β''= 180° - 130° - 19,8° = 30,2°

Mit dem Sinussatz lassen sich nun die restlichen Seiten b und c im Dreieck DCB ermitteln:

bsinρ'=esinγ        b=sinγsinρ'e= 20,5°

csinβ''=esinγ        c=sinγsinβ''e= 13,8°




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