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Wie kann man den Sinussatz beweisen?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie kann man den Sinussatz beweisen und gilt dieser auch in rechtwinkligen Dreiecke?

Wie zeigt man, dass in einem allgemeinen Dreieck die größte Seite dem größten Winkel gegenüberliegt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Herleitung des Sinussatzes

Im Folgenden werden die Seiten eines Dreiecks mit

a, b

und

c

bezeichnet, sowie die entsprechenden Maßen α,β und γ der gegenüber liegenden Winkel.

h_{c}

ist die Höhe auf

c

und

h_{a}

ist die Höhe auf

a

Beweis

Zeichnet man die Höhe

h_{c}

auf

c

in einem beliebigen Dreieck ein, dann wird dieses Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilt. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels gleich dem Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse.

Es folgt also:

sin α = \frac{h_{c}}{b}

und

sin β = \frac{h_{c}}{a}

Die Höhe

h_{c}

kann also geschrieben werden als:

h_{c} = b \cdot sin α

und

h_{c} = a \cdot sin β

Gleichsetzen der Ausdrücke:

b \cdot sin α = a \cdot sin β

Daraus folgert sich der erste Teil des Sinussatzes:

\Rightarrow \frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}

Zeichnet man nun die Höhe

h_{a}

auf

a

in das Dreieck ein, wird auch dieses mal das Dreieck in 2 rechtwinklige Teildreiecke unterteilt.
Es können wieder folgende Aussagen gemacht werden:

sin β = \frac{h_{a}}{c}

und

sin γ = \frac{h_{a}}{b}

Umstellen und gleichsetzten der obigen Ausdrücke ergibt den zweiten Teil des Sinussatzes:

c \cdot sin β = b \cdot sin γ

\Rightarrow \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Setzt man den ersten und den letzten Teil zusammen, ergibt sich folgender Ausdruck:

\Rightarrow \frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Sinussatz in rechtwinklige Dreiecke

Der Sinussatz gilt für allgemeine Dreiecke, das heißt auch für rechtwinklige.
Um nach zu prüfen ob das auch stimmt, setzt man für

α, β

oder

γ

den Wert 90° ein:

\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

γ =

90°

\Rightarrow sin γ = sin (90) = 1

\Rightarrow \frac{b}{sin β} = \frac{c}{1}

\Rightarrow sin β = \frac{b}{c}

Diese Aussage gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck!

Der letzte Ausdruck bestätigt also die Anwendbarkeit des Sinussatzes auf rechtwinklige Dreiecke.

Anwendung des Sinussatzes

Dank dem Sinussatzes ist es möglich zu zeigen, dass in einem beliebigen Dreieck die größte Seite dem größten Winkel gegenüberliegt.

Zuerst muss gezeigt werden: Der größeren von zwei Seiten liegt der größere Winkel gegenüber

Seien

a, b

zwei Seiten eines Dreiecks mit

a > b

Nach dem Sinussatz gilt:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}

Umformen der Gleichung:

\frac{a}{b} = \frac{sin α}{sin β}

a > b,

folgt

: sin α > sin β

Jetzt muss gezeigt werden, dass aus

sin α > sin β

auch

α > β

folgt.

Eine Fallunterscheidung ist notwendig:

1) α <

90°

Da

sin α > sin β

gelten sollt, kann

β

nur in zwei Intervallen liegen:

Entwerder

0 \leq β \leq α

oder

180°-

α \leq β \leq

180°

Da die Innenwinkelsumme in einem Dreieck gleich 180° ist, kann

β

nur im ersten Intervall liegen.

2) α =

90°

Zwei mögliche Intervalle wie oben.

3) α >

90°

β

liegt entweder im ersten Quadranten oder

β > α

Wieder kann man mit dem Argument der Innenwinkelsumme die zweite Möglichkeit ausschließen.

Fazit: der größeren von zwei Seiten liegt der größere Winkel gegenüber!

Wendet man den Satz auf alle Seiten eines Dreiecks, folgt unmittelbar:

Ist

a > b > c,

dann gilt:

α > β > γ

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