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Wie kann man den Sinussatz beweisen?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie kann man den Sinussatz beweisen und gilt dieser auch in rechtwinkligen Dreiecke?

Wie zeigt man, dass in einem allgemeinen Dreieck die größte Seite dem größten Winkel gegenüberliegt?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Herleitung des Sinussatzes

Im Folgenden werden die Seiten eines Dreiecks mit a,b und c bezeichnet, sowie die entsprechenden Maßen α,β und γ der gegenüber liegenden Winkel. hc ist die Höhe auf c und ha ist die Höhe auf a.

sinussatz_beweis

Beweis

Zeichnet man die Höhe hc auf c in einem beliebigen Dreieck ein, dann wird dieses Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilt. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels gleich dem Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse.

Es folgt also:

sinα=hcb     und     sinβ=hca

Die Höhe hc kann also geschrieben werden als:

hc=bsinα     und     hc=asinβ

Gleichsetzen der Ausdrücke:

bsinα=asinβ

Daraus folgert sich der erste Teil des Sinussatzes:

asinα=bsinβ

Zeichnet man nun die Höhe ha auf a in das Dreieck ein, wird auch dieses mal das Dreieck in 2 rechtwinklige Teildreiecke unterteilt.
Es können wieder folgende Aussagen gemacht werden:

sinβ=hac     und     sinγ=hab

Umstellen und gleichsetzten der obigen Ausdrücke ergibt den zweiten Teil des Sinussatzes:

csinβ=bsinγ

bsinβ=csinγ

Setzt man den ersten und den letzten Teil zusammen, ergibt sich folgender Ausdruck:

asinα=bsinβ=csinγ
Sinussatz in rechtwinklige Dreiecke

Der Sinussatz gilt für allgemeine Dreiecke, das heißt auch für rechtwinklige.
Um nach zu prüfen ob das auch stimmt, setzt man für α,β oder γ den Wert 90° ein:

bsinβ=csinγ

γ= 90°         sinγ=sin(90)=1.

bsinβ=c1

sinβ=bc     Diese Aussage gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck!

Der letzte Ausdruck bestätigt also die Anwendbarkeit des Sinussatzes auf rechtwinklige Dreiecke.


Anwendung des Sinussatzes

Dank dem Sinussatzes ist es möglich zu zeigen, dass in einem beliebigen Dreieck die größte Seite dem größten Winkel gegenüberliegt.

Zuerst muss gezeigt werden: Der größeren von zwei Seiten liegt der größere Winkel gegenüber

Seien a,b zwei Seiten eines Dreiecks mit a>b

Nach dem Sinussatz gilt:     asinα=bsinβ

Umformen der Gleichung:     ab=sinαsinβ

Da a>b, folgt :    sinα>sinβ

Jetzt muss gezeigt werden, dass aus     sinα>sinβ     auch     α>β     folgt.

Eine Fallunterscheidung ist notwendig:

1)    α< 90°

Da     sinα>sinβ     gelten sollt, kann β nur in zwei Intervallen liegen:

Entwerder     0βα     oder      180°- αβ 180°

Da die Innenwinkelsumme in einem Dreieck gleich 180° ist, kann β nur im ersten Intervall liegen.

2)    α= 90°

Zwei mögliche Intervalle wie oben.

3)    α> 90°

β liegt entweder im ersten Quadranten oder β>α

Wieder kann man mit dem Argument der Innenwinkelsumme die zweite Möglichkeit ausschließen.

Fazit: der größeren von zwei Seiten liegt der größere Winkel gegenüber!

Wendet man den Satz auf alle Seiten eines Dreiecks, folgt unmittelbar:

Ist a>b>c, dann gilt:     α>β>γ

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