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Landvermessungsaufgaben mit Sinus- u. Kosinussatz

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie ermittelt man Entfernungen zwischen zwei Objekten mit Hilfe des Sinus- und Kosinussatzes?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Entfernung zweier Orte

Zwei Orte A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Sees. Zwei Straßen, die von A und B geradlinig ausgehen, treffen sich in C unter einem Winkel von 60°.
Wie weit ist A von B entfernt (Luftlinie), wenn die Entfernung von B bis C  5 km und die Entfernung von A bis C  8 km beträgt?


Skizze erstellen:

Orte

ABC stellt ein Dreieck dar, es werden 3 Größen angegeben: 2 Seiten (a,b) und der von diesen Seiten eingeschlosse Winkel (γ).

Kosinussatz anwenden:

c2=a2+b2-2abcosγ

c2=82+52-285cos(60)=89-800,5=49

c=49=7 km

Der Ort A liegt 7 km vom Ort B entfernt.

Turmhöhe

Von einem Schiff A1 aus sieht man die Spitze eines Leuchtturms unter einem Erhebungswinkel von α= 5° und von einem Schiff A2 aus unter einem Erhebungswinkel von β= 15°. Beide Schiffe befinden sich genau westlich vom Leuchtturm und sind 600m voneinander entfernt. Wie hoch ist der Leuchtturm?

Skizze anfertigen:

turm

Die beiden Schiffe und die Turmspitze bilden das Dreieck A1A2T

Aus α und β bestimmt man die restlichen Winkel des Dreiecks:

β'= 180° -β    (A1 und A2 liegen auf einer waagerechten Linie)

γ= 180° -(α+β')= 180° -(α+180 ° -β)=β-α     (Innenwinkelsumme ist gleich 180°)

β'= 165°
γ= 10°

Nach dem Sinussatz gilt:

A1A2sinγ=A2Tsinα

Somit kann die Entfernung des Schiffes A2 zur Turmspitze T berechnet werden:

A2T=A1A2sinγsinα=600sin(10)sin(5)=301,15m

Das Schiff A2, die Turmspitze T und der Turmboden O bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Also gilt für die Höhe h des Turmes:

h=A2Tsinβ=301,15sin(15)=77,94m


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