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Ableiten mit der Kettenregel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Um verkettete Funktionen abzuleiten verwendet man die Kettenregel:

h(x)=f(g(x))    h'(x)=f'(g(x))g'(x)



Vorgehensweise

1) Bilde zunächst die Ableitung der äußeren Funktion (hier: f) und lasse die innere Funktion (hier: g) unverändert.

2) "Nachdifferenzieren": Nun wird die innere Funktion abgeleitet.

3) Produkt von 1) und 2) bilden.

Es gilt der Merksatz:

f von "irgendwas" abgleitet ist f abgeleitet von "irgendwas" mal "irgendwas" abgeleitet.
Beispiel

h(x)=cos(x2)

Hier ist

f(x)=cos(x)   (äußere Funktion)

und

g(x)=x2   (innere Funktion)

1) Ableitung der äußeren Funktion (innere Funktion bleibt unverändert):

f'(x)=-sin(x2)

2) Ableitung der inneren Funktion:

g'(x)=2x

3) Produkt bilden:

h'(x)=f'(g(x))g'(x)=-sin(x2)2x
Beispiel

h(x)=ex2+2x+1

Hier ist

f(x)=ex   (äußere Funktion)

und

g(x)=x2+2x+1   (innere Funktion)

1) Ableitung der äußeren Funktion (innere Funktion bleibt unverändert):

f'(x)=ex2+2x+1   (Die Ableitung von ex ist gleich ex)

2) Ableitung der inneren Funktion:

g'(x)=2x+2

3) Produkt bilden:

h'(x)=f'(g(x))g'(x)=ex2+2x+1(2x+2)
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