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Ableiten mit der Quotientenregel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Um den Quotienten zweier Funktionen u(x) und v(x) abzuleiten, verwendet man die Quotientenregel:

f(x) =u(x)v(x)    f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)v2(x)


Vorgehensweise:

Man bildet also 1) die Ableitung der einzelnen Funktionen (u'(x) und v'(x)) und bildet dann 2) einen Quotienten.
Im Zähler steht die Differenz der Produkte der Ableitungen mit den jeweiligen anderen Funktionen.
Im Nenner steht das Quadrat der Nennerfunktion (v(x)) von f(x).
Beispiel:

f(x)=1x

Hier ist

u(x)=1

und

v(x)=x

1) Ableitung der einzelnen Funktionen:

u'(x)=0

v'(x)=1

Differenz der Produkte:

u'(x)v(x)-u(x)v'(x)=0x11=-1

Quadrat der Nennerfunktion:

v2(x)=x2

2) Quotienten bilden:

f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)v2(x)=0x-11x2=-1x2

Beispiel:

f(x)=x2lnx

Hier ist

u(x)=x2

und

v(x)=lnx

1) Ableitung der einzelnen Funktionen:

u'(x)=2x

v'(x)=1x

Differenz der Produkte:

u'(x)v(x)-u(x)v'(x)=2xlnxx21x

Quadrat der Nennerfunktion:

v2(x)=(lnx)2

2) Quotienten bilden:

f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)v2(x)=2xlnx-x21x(lnx)2=2xlnx-x(lnx)2
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