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Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Ist der Graph der 1. Ableitung gegeben, so lassen daraus Eigenschaften des Funktionsgraphen herleiten.

Grundsätzlich gilt ja, dass der Funktionsgraph bei einer Nullstelle der 1. Ableitung entweder

    - ein Minimum,
    - ein Maximum,
    - oder einen Terrassenpunkt hat.

[Extrempunkte eines Funktionsgraphen]

Denn an diesen Punkten hat der Funktionsgraph eine waagerechte Steigung und die Steigung wird durch den Graph der 1. Ableitung veranschaulicht     f'(x)=0.

Durch den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung wird bestimmt, um welche der drei Alternativen es sich handelt.

Es lässt sich jedoch z.B. nicht über die 1. Ableitung ermitteln, wo der Funktionsgraph selbst seine Nullstellen hat!



Plus nach Minus:   (+)(-)

Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich vom Postiven ins Negative.
Die Steigung war also zunächst positiv und wird nun negativ.
Somit stieg der Funktionsgraph zunächst an und fällt dann.
Ein Maximum.


Minus nach Plus:   (-)(+)

Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich vom Negativen ins Postive.
Die Steigung war also zunächst negativ wird nun positiv.
Somit fiel der Funktionsgraph zunächst an und steigt dann wieder an.
Ein Minimum.

Ableitungsgraph-Funktionsgraph1


Minus nach Minus oder Plus nach Plus:   (-)(-) oder (+)(+)

Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich nicht, aber wird an einer Stelle Null.
Somit liegt ein Terrassenpunkt(Sattelpunkt) vor.

Ableitungsgraph-Funktionsgraph2
Beispiel

Gegeben ist der Graph der 1. Ableitung einer Funktion f.
Was lässt sich über den Verlauf der Funktion aussagen?

Ableitungsgraph-Funktionsgraph3

Lösung:

Bei x=-2 hat die 1. Ableitung den Vorzeichenwechsel (+)(-): Somit liegt ein Maximum vor.

Bei x=0 hat die 1. Ableitung den Vorzeichenwechsel (-)(+): Somit liegt ein Minimum vor.

Ableitungsgraph-Funktionsgraph3_L
Beispiel

Gegeben ist der Graph der 1. Ableitung einer Funktion f.
Was lässt sich über den Verlauf der Funktion aussagen?

Ableitungsgraph-Funktionsgraph4

Lösung :

Bei x=-1,5 hat die 1. Ableitung den Vorzeichenwechsel (+)(-): Somit liegt ein Maximum vor.

Bei x=0 hat die 1. Ableitung keinen Vorzeichenwechsel (-)(-): Somit liegt ein Terrassenpunkt vor.

Bei x=1,5 hat die 1. Ableitung den Vorzeichenwechsel (-)(+): Somit liegt ein Minimum vor.

Ableitungsgraph-Funktionsgraph4_L
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