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Verschiebung einer Normalparabel

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

 
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Was passiert wenn man eine Normalparabel in x oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Vertikale Verschiebung - Verschiebung in y-Richtung


Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet: y=x2


Was passiert beim Verschieben?

Verschiebt man die Normalparabel in y-Richtung um e Längeneinheiten (z.B. e=2), dann verändert sich der y-Wert jedes einzelnen Punktes der Parabel um diese e Einheiten. Die Funktionsgleichung der Parabel verändert sich also wie folgt:

  • bei Verschiebung der Parabel nach oben, werden die e Einheiten zu der Funktionsgleichung am Ende addiert. Die neue Funktionsgleichung lautet dann:
    y=x2+ e


  • bei Verschiebung der Parabel nach unten, werden die e Einheiten von der Funktionsgleichung am Ende subtrahiert (abgezogen). Die neue Funktionsgleichung lautet dann:
    y=x2- e


Beispiel:

Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach oben verschoben.

bild_1

Die Funktionsgleichung der neuen Parabel lautet:

y=x2+2


Beispiel:

Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach unten verschoben.

bild_2

Die Funktionsgleichung der neuen Parabel lautet:

y=x2-2
Horizontale Verschiebung - Verschiebung in x-Richtung


Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet: y=x2


Was passiert beim Verschieben?

Verschiebt man die Normalparabel in x-Richtung um d Längeneinheiten (z.B. c=2), dann verändert sich der x-Wert jedes einzelnen Punktes der Parabel um diese d Einheiten. Die Funktionsgleichung der Parabel verändert sich also wie folgt:

  • bei Verschiebung der Parabel nach links, werden die d Einheiten dem x dazu addiert, dieser Term wird in Klammern gesetzt und dann quadriert (hoch 2 genommen). Die neue Funktionsgleichung lautet dann:
    y=(x+d)2


  • bei Verschiebung der Parabel nach rechts, werden die d Einheiten vom x subtrahiert, dieser Term wird in Klammern gesetzt und dann quadriert (hoch 2 genommen). Die neue Funktionsgleichung lautet dann:
    y=(x-d)2


Beispiel:

Die Normalparabel y=x2 wird um 2 Einheiten nach links verschoben.

bild_3

Die Funktionsgleichung der neuen Parabel lautet:

y=(x+2)2


Beispiel:

Die Normalparabel y=x2 wird um 2 Einheiten nach rechts verschoben.

bild_4

Die Funktionsgleichung der neuen Parabel lautet:

y=(x-2)2
Verschiebung in beiden Richtungen (x und y)


Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet: y=x2

Um das Schaubild der Normalparabel in beiden Richtungen zu verschieben, muss das Schaubild erst in einer Richtung verschoben werden und danach in die andere Richtung.

Die Reihenfolge dabei ist nicht wichtig, das heißt man kann sowohl erst in x-Richtung und dann in y-Richtung verschieben als auch erst in y-Richtung und dann in x-Richtung. Das Ergebnis ist das gleiche.

Die Funktionsgleichung ändert sich dabei wie bei einzelnen Verschiebungen (siehe Beiträge oben):

y-Richtung:    addieren (nach oben)/subtrahieren (nach unten) zum/vom Funktionsterm

x-Richtung:    addieren (nach links)/subtrahieren (nach rechts) zum/vom Basisterm x


Beispiel:

Erst in y-Richtung, dann in x-Richtung

Die Parabel y=x2 wird um 2 Einheiten nach unten verschoben:

bild_5

Die Funktionsgleichung der neuen Parabel lautet somit:

yneu=x2-2

Die neue Parabel wird nun um 1 Einheit nach rechts verschoben:

bild_5_2

Die Funktionsgleichung der Parabel nach beiden Verschiebungen lautet somit:

y=(x-1)2-2



Erst in x-Richtung, dann in y-Richtung

Die Parabel y=x2 wird um 1 Einheit nach rechts verschoben:

bild_6

Die Funktionsgleichung der neuen Parabel lautet somit:

yneu=(x-1)2

Die neue Parabel wird nun um 2 Einheiten nach unten verschoben:

bild_6_2

Die Funktionsgleichung der Parabel nach beiden Verschiebungen lautet somit:

y=(x-1)2-2

Fazit: Beide Reihenfolgen haben zum selbem Ergebnis geführt.

Bemerkung: Verschiebt man eine Normalparabel in beiden Richtungen so entsteht eine Parabel dessen Funktionsgleichung die Scheitelpunktform der Normalparabel genannt wird. An ihr kann man direkt die Koordinaten des Scheitels ablesen.

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