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Schnitt Parabel - Koordinatenachsen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt einer Parabel mit der y-Achse zu bestimmen, setzt man x=0 in die Funktionsgleichung ein (alle Punkte die auf der y-Achse liegen haben die Form S(0|y)). Der dadurch berechnete y-Wert ist die y-Koordinate des Schnittpunktes.


1) Beispiel

Gegeben ist die Parabel   y=x2+1

x=0 einsetzen     y=02+1=1

Die Parabel y=x2 schneidet die y-Achse in y=1.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:   S(0|1)



2) Beispiel

Gegeben ist die Parabel   y=(x-2)2

x=0 einsetzen     y=(0-2)2=4

Die Parabel y=(x-2)2 schneidet die y-Achse in y=4.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:   S(0|4)



3) Beispiel

Gegeben ist die Parabel   y=2x2+10x-12

x=0 einsetzen     y=202+100-12=-12

Die Parabel y=2x2+10x-12 schneidet die y-Achse in y=-12.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:   S(0|-12)
Schnittpunkte mit der x-Achse

Um die Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse zu bestimmen, setzt man die Funktionsgleichung gleich Null (y=0), denn alle Punkte die auf der x-Achse liegen haben die Form N(x|0).

Dann löst man die quadratische Gleichung nach x auf und erhält somit die passenden Stellen auf der x-Achse, an denen der y-Wert gleich Null ist.

1) Beispiel

Gegeben ist die Parabel   y=x2-4

y=0 setzen     x2-4=0

Gleichung nach x auflösen:

x2-4=0    |  +4

x2=4    | radizieren

x1,2=±2

Die Parabel y=x2-4 schneidet die x-Achse in x1=-2 und x2=2.

Die Schnittpunkte haben die Koordinaten:   N1(-2|0) und N2(2|0)



2) Beispiel

Gegeben ist die Parabel   y=(x-2)2

y=0 setzen     (x-2)2=0

Man erkennt leicht, dass hier x=2 ist.

Die Parabel y=(x-2)2 schneidet die x-Achse in x=2.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:   N(2|0)

Insbesondere ist der Schnittpunkt auch der Scheitelpunkt dieser Parabel



3) Beispiel

Gegeben ist die Parabel   y=x2-4x+3

y=0 setzen     x2-4x+3=0

Gleichung nach x auflösen mit der pq-Formel:

x1,2=-(-42)±(-42)2-3

x1,2=2±1

x1,2=2±1

Die Parabel y=x2-4x+3 schneidet die x-Achse in x1=1 und x2=3.

Die Schnittpunkte haben die Koordinaten:   N1(1|0) und N2(3|0)
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