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Schnitt Parabel - Parabel

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen zwei Parabeln?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Beispiel

Gegeben:

Parabel 1:  y=x2

Parabel 2:  y=x2-2x+1


Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Parabeln zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

x2=x2-2x+1


2) Gleichung umformen

Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

x2=x2-2x+1    |  -x2+2x-1

x2-x2+2x-1=0

2x-1=0



3) Gleichung nach x auflösen

2x-1=0    |  +1

2x=1    |  :2

xS=12


Somit hat man die xS -Koordinate des Schnittpunktes bestimmt.
(In diesem Beispiel schneiden sich die Parabeln in einem einzigen Punkt)



4) y-Koordinate bestimmen

Um die y-Koordinate des Schnittpunktes zu bestimmen, wird der gefundene x-Wert in einer der beiden Funktionen eingesetzt (entweder in Parabel 1 oder in Parabel 2).

xS=12   eingesetzt in Parabel 1:  yS=(12)2=14


Der Schnittpunkt hat also folgende Koordinaten:   S(12|14)


Beispiel
Gegeben:

Parabel 1:  y=(x-2)(x+1)

Parabel 2:  y=(x-1)2


Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Parabeln zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

(x-2)(x+1)=(x-1)2


2) Gleichung umformen

Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

In diesem Beispiel ist aber zuvor notwendig die Klammern aufzulösen.

(x-2)(x+1)=(x-1)2

x2+x-2x-2=x2-2x+1

x2-x-2=x2-2x+1    |  -x2+2x-1

x2-x2-x+2x-2-1=0

x-3=0



3) Gleichung nach x auflösen

x-3=0    |  +3

xS=3


Somit hat man die xS -Koordinate des Schnittpunktes bestimmt.
(In diesem Beispiel schneiden sich die Parabeln in einem einzigen Punkt)



4) y-Koordinate bestimmen

Um die y-Koordinate des Schnittpunktes zu bestimmen, wird der gefundene x-Wert in einer der beiden Funktionen eingesetzt (entweder in Parabel 1 oder in Parabel 2).

xS=3   eingesetzt in Parabel 2:  yS=(3-1)2=4


Der Schnittpunkt hat also folgende Koordinaten:   S(3|4)
Beispiel

Gegeben:

Parabel 1:  y=2x2+2x-5

Parabel 2:  y=x2-6x+4

Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Parabeln zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

2x2+2x-5=x2-6x+4


2) Gleichung umformen

Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

2x2+2x-5=x2-6x+4    |  -x2+6x-4

2x2-x2+2x+6x-5-4=0

x2+8x-9=0



3) Gleichung nach x auflösen

Die quadratische Gleichung kann mit Hilfe der pq- Formel berechnet werden:

x1,2=-82±(82)2+9

x1,2=-4±25

x1,2=-4±5


x1=1   und   x2=-9


Somit hat man die x-Koordinate der Schnittpunkte bestimmt.
(In diesem Beispiel schneiden sich die Parabeln in zwei Punkte)



4) y-Koordinate bestimmen

Um die y-Koordinate der Schnittpunkte zu bestimmen, werden die gefundenen x-Werte in einer der beiden Funktionen eingesetzt (entweder in Parabel 1 oder in Parabel 2).

x1=1   eingesetzt in Parabel 1:  y1=212+21-5=-1

x2=-9   eingesetzt in Parabel 1:  y2=2(-9)2+2(-9)-5=139



Die Schnittpunkte haben also folgende Koordinaten:   S1(1|-1) und S2(-9|139)
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