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Schnitt Gerade - Parabel

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen einer Parabel und einer Geraden?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

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Beispiel

Gegeben:

Parabel:

y = x^{2}

Gerade:

y = x

Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Funktionen zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

x^{2} = x

2) Gleichung umformen
Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

x^{2} = x | - x

\Rightarrow x^{2} - x = 0

3) Gleichung nach $x$ auflösen
Quadratische Gleichungen können

z . B

. mit der pq - Formel oder mit der Mitternachtsformel gelöst werden. In diesem Beispiel ist es jedoch angebrachter ein "x" auszuklammern. Die quadratische Gleichung bekommt dann folgende Gestalt:

x \cdot (x - 1) = 0

Da ein Produkt nur dann Null wird, wenn einer der Terme gleich Null ist, folgt:

x_{1} = 0

x - 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = 1

Somit hat man die x-Koordiante der Schnittpunkte bestimmt.

4) y-Koordinate bestimmen

Um die y-Koordinate der Schnittpunkte zu bestimmen, werden die gefundenen x-Werte in einer der Funktionen eingesetzt (entweder in die Parabel oder in die Gerade).

x_{1} = 0

eingesetzt in die Parabel:

y_{1} = 0^{2} = 0

x_{2} = 1

eingesetzt in die Parabel:

y_{2} = 1^{2} = 1

Die Schnittpunkte haben also folgende Koordinaten:

S_{1} (0 | 0)

und

S_{2} (1 | 1)

Beispiel

Gegeben:

Parabel:

y = x^{2} + 1

Gerade:

y = 2 x

Um die Schnittpunkte zwischen den beiden Funktionen zu bestimmen, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

1) Funktionen gleich setzen

x^{2} + 1 = 2 x

2) Gleichung umformen
Alles was auf der rechten Seite steht bringt man auf die linke Seite rüber (man kann auch die linke Seite auf die rechte Seite bringen).

x^{2} + 1 = 2 x | - 2 x

\Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0

3) Gleichung nach $x$ auflösen

Die quadratische Gleichung kann mit Hilfe der

p q -

Formel berechnet werden:

x_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - 1}

x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - 1}

x_{1,2} = 1 \pm 0

\Rightarrow

Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung

x_{S} = 1

Somit hat man die x-Koordiante des Schnittpunktes bestimmt (hier ist es nur ein Schnittpunkt).

4) y-Koordinate bestimmen

Um die y-Koordinate des Schnittpunktes zu bestimmen, wird der gefundene x-Wert in einer der Funktionen eingesetzt (entweder in die Parabel oder in die Gerade).

x_{S} = 1

eingesetzt in die Gerade:

y_{S} = 2 \cdot 1 = 2

Der Schnittpunkt hat also folgende Koordinaten:

S (1 | 2)

567456

567434

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