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Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Die Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion lautet:   f(x)=asin(bx+c)

Wenn die Funkion die x-Achse schneidet, dann nimmt die Funktion den Funktionswert 0 an.
Um die Nullstellen zu berechnen ist folgender Ansatz richtig:

f(x)=0

Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist (immer)

L={kπ-cb  ,  k}

Das entspricht der Menge aller Nullstellen. Möchte man die Nullstellen in einem vorgegebenen Intervall bestimmen, so muss man für k verschieden Werte einsetzen bis die letzte berechnete Nullstelle nicht mehr im Intervall liegt.



Beispiele


f(x)=sinx

b=1,c=0

L={kπ  ,  k}

bild_1_sinx



f(x)=sin(2x)

b=2,c=0

L={kπ2  ,  k}

bild_2_sin2x



f(x)=sin(2x+π)

b=2,c=π

L={kπ-π2  ,  k}

Nullstellen im Bereich [0;π]:

k=0  x1=-π2 nicht im Intervall.

k=1  x2=π-π2=0

k=2  x3=2π-π2=π2

k=3  x4=3π-π2=π

Im Intervall [0;π] schneidet die Funktion die x-Achse in 0,π2 und π

bild_3_sin2x+pi


Bestimmen der Nullstellen ohne Formel

Merkregel:

Der Abstand zwischen 2 Nullstellen ist gleich der Hälfte der Periodenlänge
(Die Periodenlänge wird im folgenden T genannt).

Kennt man also eine Nullstelle, dann können alle anderen leicht ausgerechnet werden indem man zur bekannten Nullstelle vielfache von T2 dazu addiert und/oder subtrahiert.


Beispiel

f(x)=12sin(3x)

b=3     Periode T=2πb=2π3

Ansatz: f(x)=0

12sin(3x)=03x=0

Erste Nullstelle:   x1=0

Zweite Nullstelle: wir addieren zur ersten einmal die Hälfte der Preriodenlänge

x2=x1+1T2=0+π3=π3

Dritte Nullstelle: wir addieren zur ersten 2 mal die Hälfte der Preriodenlänge

x3=x1+2T2=0+2π3=2π3

Insgesamt ergibt sich somit folgende Lösungsmenge:   L={kπ3  ,  k}

bild_4_05sin3xi