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Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Beispiel 1)


Gesucht ist die Funktionsgleichung zu folgender Normalparabel:

Beispiel_1_2

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:   y=a(x+d)2+e

Der Scheitel einer Parabel hat die Koordinaten:   S(-d|e)

Im Bild kann der Scheitelpunkt der Parabel abgelesen werden. Seine Koordinaten sind:

S(1|2)

Also gilt:

1=-d    d=-1

2=e

Die Parabel ist nach oben geöffnet und in der Aufgabenstellung steht der Hinweis, dass es sich um eine Normalparabel handelt. Für den Parameter a gilt also:

a=+1

Einsetzen der Parameterwerte a,d und e in die Scheitelpunktform ergibt folgende Funktionsgleichung:

y=(x-1)2+2
Beispiel 2)


Gesucht ist die Funktionsgleichung zu folgender Parabel:

Beispiel_2

Die Scheitelpunktform (kurz Scheitelform) einer Parabel lautet:   y=a(x+d)2+e

Der Scheitel einer Parabel hat die Koordinaten:   S(-d|e)

Im Bild kann der Scheitelpunkt der Parabel abgelesen werden. Seine Koordinaten sind:

S(2|4)

Also gilt:

2=-d    d=-2

4=e

Die Funktionsgleichung lautet bis hier her also:   y=a(x-2)2+4

Ein weiterer Punkt kann im Bild abgelesen werden. Die Parabel schneidet die y-Achse im Punkt (0|-4).

Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung (für x schreibt man 0 und für y schreibt man -4) ergibt:

-4=a(0-2)2+4

Auflösen der Gleichung nach a:

-4=a(-2)2+4

-4=a4+4

-8=a4

-2=a

Dass a negativ ist, hätte man schon vorher sagen können, da die Parabel nach unten geöffnet ist.

Einsetzen der Parameterwerte a,d und e in die Scheitelpunktform ergibt folgende Funktionsgleichung:

y=-2(x-2)2+4

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