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Quadratische Ergänzung bestimmen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Gibt es einen schnellen Weg die quadratische Ergänzung zu bestimmen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Ergänzung
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Einführung Funktionen
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Funktionstyp:

y = x^{2} + b x + c

Ist eine quadratische Funktion in dieser Form gegeben, so kann man in zwei Rechenschritten die quadratische Ergänzung ermitteln und die Scheitelpunktform der Funktion aufschreiben.

1) Schritt

Man nimmt den Parameter

b

des linearen Terms

b \cdot x

und teilt ihn durch 2.

\Rightarrow d = \frac{b}{2}

2) Schritt

Man quadriert

\frac{b}{2}

und erhält damit die quadratische Ergänzung.

\Rightarrow e = {(\frac{b}{2})}^{2}

Scheitelpunktform aufstellen:

Die Scheitelpunktform lautet dann:

y = {(x + \frac{b}{2})}^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2} + c

Beispiel

y = x^{2} + 8 x + 3

Hier ist

b = 8

\Rightarrow \frac{b}{2} = \frac{8}{2} = 4

\Rightarrow {(\frac{b}{2})}^{2} = 4^{2} = 16

Scheitelpunktform:

y = {(x + 4)}^{2} - 16 + 3 = {(x + 4)}^{2} - 13

Funktionstyp:

y = a x^{2} + b x + c

Ist eine quadratische Funktion in dieser Form gegeben so, kann man wie oben beschrieben auch hier in zwei Rechenschritten die quadratische Ergänzung ermitteln und die Scheitelpunktform der Funktion aufschreiben.

Zuvor muss man aber den Faktor a ausklammern.

Beispiel

y = 2 x^{2} + 8 x + 3

Faktor 2 ausklammern:

y = 2 \cdot (x^{2} + 4 x + \frac{3}{2})

Hier ist also

b = 4

\Rightarrow \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2

\Rightarrow {(\frac{b}{2})}^{2} = 2^{2} = 4

Scheitelpunktform:

y = 2 \cdot [{(x + 2)}^{2} - 4 + \frac{3}{2}] = 2 \cdot [{(x + 2)}^{2} - \frac{5}{2}] = 2 \cdot {(x + 2)}^{2} - 5

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