Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ermitteln

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ermitteln

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie ermittelt man zu gegebenen Eigenschaften einer Funktion die Funktionsgleichung?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.


Beispiel:

Die Potenzfunktion f(x)=ax2+bx geht durch die Punkte A(1|9) und B(2|20).
Bestimmen Sie die Unbekannten a,b in der Potenzfunktion.


Lösung:

Koordinaten des Punktes A in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(1)=a12+b1=a+b=9

a=9-b

Koordinaten des Punktes B in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(2)=a22+b2=4a+2b=20

Einsetzen von a in die obige Gleichung:

4(9-b)+2b=20
36-4b+2b=20
-2b=-16
b=8

Einsetzen von b=8a:

a=9-8=1

Die gesuchten Parameter sind:

a=1   und   b=8

f(x)=x2+8x
Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.


Beispiel:

Das Schaubild einer Funktion f(x)=axr geht durch die Punkte P(2|83) und Q(3|9). Die Parameterwerte a und r sind zu ermitteln.

Lösung:

Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(2)=a2r=83

1.   a2r=83

Koordinaten des Punktes Q in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(3)=a3r=9

2.   a3r=9

2. Gleichung durch 1. teilen ergibt:

a3ra2r=983

3r2r=278

(32)r=278

r=3 ist leicht zu erkennen.

Einsetzen von r=3z.B. die erste Gleichung ergibt:

a23=83

a=8323=13


Gegeben: ein Punkt
Gesucht: Potenzgleichung bzw. Potenz n

1. Beispiel:

Bestimmen sie n so, dass der Graph der Potenzfunktion f mit f(x)=xn durch den Punkt P(1,2|1,728) verläuft.

Lösung

P in die Funktionsgleichung einsetzen:

1,728=1,2n

Den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden:

ln(1,728)=ln(1,2n)

Folgende Eigenschaft des Logarithmus anwenden:   lnxn=nlnx

ln(1,728)=nln(1,2)
n=ln(1,2)ln(1,728)=3



2. Beispiel:

Bestimmen sie n so, dass der Graph der Potenzfunktion f mit f(x)=xn durch den Punkt P(-25|16625) verläuft.

P in die Funktionsgleichung einsetzen:

16625=(-25)n

Logarithmieren ist hier nicht möglich, denn -25 ist eine negative Zahl.
Man behilft sich mit folgender Überlegung: n muss gerade sein, denn sonst hätte 16625 kein positives Vorzeichen.

Wenn n eine gerade Zahl ist, kann man das negative Vorzeichen von 25 weg lassen:

16625=(25)n

ln(16625)=ln(25)n

ln(16625)=nln(25)

n=ln(16625)ln(25)=4
Wie hilft Dir dieser Artikel?
 
Diese Erklärung hat mir geholfen
 
Diese Erklärung hat mir teilweise geholfen
 
Diese Erklärung hat mir nicht geholfen
 
Ich habe eine Frage zu diesem Thema