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Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ermitteln

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie ermittelt man zu gegebenen Eigenschaften einer Funktion die Funktionsgleichung?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.


Beispiel:

Die Potenzfunktion f(x)=ax2+bx geht durch die Punkte A(1|9) und B(2|20).
Bestimmen Sie die Unbekannten a,b in der Potenzfunktion.


Lösung:

Koordinaten des Punktes A in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(1)=a12+b1=a+b=9

a=9-b

Koordinaten des Punktes B in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(2)=a22+b2=4a+2b=20

Einsetzen von a in die obige Gleichung:

4(9-b)+2b=20
36-4b+2b=20
-2b=-16
b=8

Einsetzen von b=8a:

a=9-8=1

Die gesuchten Parameter sind:

a=1   und   b=8

f(x)=x2+8x
Gegeben: 2 Punkte und allgemeine Funktionsgleichung
Gesucht: Potenzfunktion die durch die 2 Punkte verläuft.


Beispiel:

Das Schaubild einer Funktion f(x)=axr geht durch die Punkte P(2|83) und Q(3|9). Die Parameterwerte a und r sind zu ermitteln.

Lösung:

Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(2)=a2r=83

1.   a2r=83

Koordinaten des Punktes Q in die Funktionsgleichung einsetzen:

f(3)=a3r=9

2.   a3r=9

2. Gleichung durch 1. teilen ergibt:

a3ra2r=983

3r2r=278

(32)r=278

r=3 ist leicht zu erkennen.

Einsetzen von r=3z.B. die erste Gleichung ergibt:

a23=83

a=8323=13


Gegeben: ein Punkt
Gesucht: Potenzgleichung bzw. Potenz n

1. Beispiel:

Bestimmen sie n so, dass der Graph der Potenzfunktion f mit f(x)=xn durch den Punkt P(1,2|1,728) verläuft.

Lösung

P in die Funktionsgleichung einsetzen:

1,728=1,2n

Den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden:

ln(1,728)=ln(1,2n)

Folgende Eigenschaft des Logarithmus anwenden:   lnxn=nlnx

ln(1,728)=nln(1,2)
n=ln(1,2)ln(1,728)=3



2. Beispiel:

Bestimmen sie n so, dass der Graph der Potenzfunktion f mit f(x)=xn durch den Punkt P(-25|16625) verläuft.

P in die Funktionsgleichung einsetzen:

16625=(-25)n

Logarithmieren ist hier nicht möglich, denn -25 ist eine negative Zahl.
Man behilft sich mit folgender Überlegung: n muss gerade sein, denn sonst hätte 16625 kein positives Vorzeichen.

Wenn n eine gerade Zahl ist, kann man das negative Vorzeichen von 25 weg lassen:

16625=(25)n

ln(16625)=ln(25)n

ln(16625)=nln(25)

n=ln(16625)ln(25)=4
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