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Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

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?

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Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form

f (x) = a \cdot x^{n}

wobei a und

n

(der Exponent) reelle Zahl sind.

Wir wollen aber den Fall betrachten wo

n

eine ganze Zahl ist (… -2,-1,0,1,2,…).

Die Ableitung einer Potenzfuntkion mit ganzzahligem Exponenten wird durch die folgende Potenzregel bestimmt:

f' (x) = n \cdot a \cdot x^{n - 1}

Die Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten ist also gleich derselben Potenzfunktion, aber mit einem Exponenten

n - 1

der um 1 kleiner ist als der Exponent

n

der Ausgangsfunktion. Hinzu kommt noch die Multiplikation mit

n

.

Beispiele

1)

f (x) = x^{2}

\Rightarrow f' (x) = 2 \cdot x^{2 - 1} = 2 \cdot x

2)

f (x) = x^{100}

\Rightarrow f' (x) = 100 \cdot x^{100 - 1} = 100 \cdot x^{99}

3)

f (x) = \frac{1}{3} \cdot x^{3}

\Rightarrow f' (x) = 3 \cdot \frac{1}{3} x^{3 - 1} = x^{2}

4)

f (x) = \frac{1}{x^{5}} = x^{- 5}

\Rightarrow f' (x) = (- 5) \cdot x^{- 5 - 1} = - 5 \cdot x^{- 6} = \frac{- 5}{x^{6}}

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