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Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie leitet man die Umkehrfunktion einer Funktion ab?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
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Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Es gibt zwei Verfahren, um die Ableitung der Umkehrfunktion zu ermitteln.

Vorgehensweise:

  (1) Umkehrfunktion der gegebenen Funktion bilden
  (2) Umkehrfunktion ableiten


Oder ohne Bestimmung der Umkehrfunktion mit folgender Formel (Umkehrregel):

  (1)  (f-1)'(y)=1f'(f-1(y))=1f'(x)

Diese Regel ist nur unter folgenden Voraussetzungen anwendbar:

  -f muss an der Stelle x differenzierbar sein
  -f darf an der Stelle x keine waagerechte Tangente haben f'(x)0

Begründung der Umkehrregel:

Die Steigungen von f und f-1 verhalten sich reziprok, da die Graphen von f und f-1 symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden sind.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=lnx
Bestimme die Ableitung der Funktion f mit der Umkehrregel.

Es gilt: (f-1)'(y)=1f'(f-1(y))=1f'(x)

Für den natürlichen Logarithmus f(x)=ln(x) lautet die Umkehrfunktion:
f-1(x)=ex

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist:
f-1'(x)=ex

Dann lautet die Ableitung der Funktion:

f'(x)=1elnx=1x
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