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Umkehrfunktion zu einer Funktion bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

 
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Wie bildet man die Umkehrfunktion zu einer Funktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Man bestimmt die Umkehrfunktion f-1(x) einer Funktion f(x) mit

1) Vertauschen der Variablen x und y:

     Man schreibt anstelle eines x ein y und anstelle eines y ein x.

2) Auflösen der Gleichung nach y

     Vorsicht: Wichtig ist an dieser Stelle immer der Definitionsbereich und die Wertemenge
     der Funktion und Umkehrfunktion.

     Es muss stets gelten :

      Df-1=Wf

      Wf-1=Df


Kontrolle:

Die Verkettung von Funktion und ihrer Umkehrfunktion muss gleich x sein

f(f-1)=x

Beispiel

f(x)=2x        y=2x

1) Vertauschen von x und y:

x=2y

2) Auflösen nach y:

y=12x        f-1(x)=12x

Df-1==Wf

Wf-1==Df

Kontrolle:

f(f-1(x))=2(12x)=x     (stimmt)
Beispiel

f(x)=x2        y=x2

1) Vertauschen von x und y:

x=y2

2) Auflösen nach y:

y=±x        f1-1(x)=x   und   f2-1(x)=-x

Es gibt 2 Umkehrfunktionen zur quadratischen Funktion x2.

Die Umkehrfunktion von x2 für x0 (rechter Ast der Parabel) ist x.

Df1-1=[0;[=Wf

Wf-1=[0;[=Df

Die Umkehrfunktion von x2 für x0 (linker Ast der Parabel) ist -x.

Df2-1=[0;[=Wf

Wf-1=]-;0]=Df


Kontrolle:

f(f-1(x))=2(12x)=x     (stimmt)
Beispiel

f(x)=e2x        y=e2x

1) Vertauschen von x und y:

x=e2y

2) Auflösen nach y:

lnx=lne2y

lnx=2y

y=12lnx        f-1(x)=12lnx


Df-1=]0;[=Wf

Wf-1==Df



Kontrolle:

f(f-1(x))=e212lnx=elnx=x     (stimmt)
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