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Funktionsgleichung der Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie stellt man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion auf?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Gegeben: y0 (Anfangswert), a (Wachstumsfaktor)
Gesucht: y (Funktionsgleichung)

1. Beispiel

Gegeben: Eine 1,2m lange Alge vergrößert täglich ihre Länge um 30%

Anfangslänge der Alge:   1,2my0=1,2

Alge vergrößert sich täglich um 30%,d.h. wenn die Alge 1m lang wäre, dann würde sie am nächsten Tag um 0,3m(30% von 1m) wachsen und insgesamt eine Länge von 1,3m haben.

Wachstumsfaktor   a=1,3

Die Funktionsgleichung kann jetzt aufgestellt werden. Die obigen Werte müssen nur in die allgemeine Form einer Exponentialgleichung eingesetzte werden:

y=y0ax

y=1,21,3x

x ist die Zeiteinheit, hier in Tagen ausgedrückt. Möchte man nun wissen wie groß die Alge nach 5 Tagen ist, setzte man x=5 in die Gleichung ein:

y=1,21,354,45m


2. Beispiel

Gegeben: Ein Auto zum Neupreis von 18.000 € verliert jedes Jahr 15% seines letztjährigen Wertes. Gib eine Funktion an, die den Abnahmevorgang des Wertes beschreibt.

Neupreis bzw. Anfangswert des Autos:   18.000y0=18.000

Der Preis des Autos verkleinert sich jährlich um 15%,d.h. wenn das Auto am Anfang 1 € kosten würde, dann würde es nach einem Jahr 0,15  (15% von 1) € an Wert verlieren und 0,85 € kosten.

Wachstumsfaktor   a=0,85

Die Funktionsgleichung kann jetzt aufgestellt werden. Die obigen Werte müssen nur in die allgemeine Form einer Exponentialgleichung eingesetzte werden:

y=y0ax

y=18.0000,85x

x ist die Zeiteinheit, hier in Jahren ausgedrückt. Möchte man nun wissen wie hoch der Wert des Autos nach 3 Jahren ist, setzte man x=3 in die Gleichung ein:

y=18.0000,853=11.054,25

Da a kleiner ist als 1 beschreibt die Funktion einen Abnahmeprozess.



3. Beispiel

Gegeben: An einem heißen Sommertag gießt sich Tobias ein Glas Saft ein. Der Saft kommt aus dem Kühlschrank, er hat eine Temperatur von 10°C. Die Raumtemperatur beträgt 25°C.


a) Der Unterschied T zwischen Safttemperatur und Umgebungstemperatur nimmt pro Minute um 13 ab. Zu Beginn ist T0= 15°C. Stelle die Funktionsgleichung T(x) auf (x: Zahl der Minuten).


b) Wie groß ist die Safttemperatur S(x) in Abhängigkeit von der Zeit? Überlege Dir hierzu, wie S(x) mit T(x) zusammenhängt.



a)

Anfangstemperatur T0= 15°C

nach einer Minute:   T= 15°C 13= 5°C

nach zwei Minuten:   T= 5°C 13= 15° (13)2

nach drei Minuten:   T= 15° (13)3

Allgemein:

Nach x Minuten:   T= 15°C (13)x

Also

T=T0(13)x


b) Die Umgebungstemperatur bleibt immer gleich, wir nennen sie mal U. U beträgt 25°

Der Temperaturunterschied T(x) ist definiert als die Differenz zwischen Umgebungstemperatur und Safttemperatur S(x)

Also: T(x)=U-S(x)

S(x)=U-T(x)

S(x)= 25°C - 15°C (13)x
Gegeben: Zwei Bedingungen an einer Funktion
Gesucht: Funktionsgleichung

Beispiel:

Gegeben: Der Graph der Funktion f mit y=ax+b  (D=) geht durch die Punkte P(0;4) und Q(2;28). Wie lautet die Funktion ? Wie komme ich da auf die Lösung ?

1. Bedingung: der Graph der Funktion geht durch den Punkt P

Einsetzen der Koordinaten vom Punkt P gibt:

4=a0+b

4=1+b

b=3

2. Bedingung: der Graph der Funktion geht durch den Punkt Q

Einsetzen der Koordinaten von Punkt Q und des Wertes b=3 gibt:

28=a2+3

a2=25

a=5

Die Parameterwerte a und b sind nun bestimmt.
Durch einsetzen von a un b in die Funktionsgleichung bekommt man die gesuchte Funktion:

y=5x+3