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Verlauf einer Potenzfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie kann man an der Funktionsgleichung erkennen, wie eine Potenzfunktion ungefähr aussieht?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Ist die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion gegeben, dann kann man immer den dazugehörigen Graphen in einem Koordinaten-System einzeichnen.

Dazu betrachtet man das Vorzeichen des Parameterwertes a und den Exponenten n und unterscheidet folgende 4 Fälle:




Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:   f(x)=axn

1.Fall: n ist positiv und gerade

Beispiel:

n=2        f(x)=ax2

Potenzfunktionen mit positiven Exponenten n heißen Parabeln und verhalten sich bei geradem Exponenten n alle ähnlich wie die quadratische Funktion, d.h. ihre Graphen sehen alle ungefähr aus wie eine Normalparabel. (siehe Bild)

Ist a positiv dann kommt die Potenzfunktion aus dem positiven Unendlichem, hat bei x=0 eine Nullstelle, die ein Tiefpunkt ist, und geht dann ins positive Unendliche.

Ist a negativ dann kommt die Potenzfunktion aus dem negativen Unendlichem, hat bei x=0 eine Nullstelle, die ein Hochpunkt ist, und geht dann ins negative Unendliche.

Das Vorzeichen von a sagt also aus in welchen Quadranten der Graph der Potenzfunktion verläuft.

Für positives a vom II. Quadranten durch den Ursprung zum I. Quadranten.

Für negatives a vom III. Quadranten durch den Ursprung zum IV. Quadranten.

Wie groß dabei a ist, ist nicht wichtig um den Verlauf der Funktion zu bestimmen.



positiv_gerade
Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:   f(x)=axn

2.Fall: n ist positiv und ungerade

Beispiel:

n=3        f(x)=ax3

Auch Potenzfunktionen mit ungeraden positiven Exponenten n heißen Parabeln aber verhalten sich wegen dem ungeraden Exponeten n anders als die quadratische Funktion (jedoch sehen sie sich unter einander sehr ähnlich). (siehe Bild)

Ist a positiv dann kommt die Potenzfunktion aus dem negativen Unendlichem, hat bei x=0 eine Nullstelle, die ein Sattelpunkt ist, und geht dann ins positive Unendliche.

Ist a negativ dann kommt die Potenzfunktion aus dem positiven Unendlichem, hat bei x=0 eine Nullstelle, die ein Sattelpunkt ist, und geht dann ins negative Unendliche.

Das Vorzeichen von a sagt also aus in welchen Quadranten der Graph der Potenzfunktion verläuft:

Für positives a vom III. Quadranten durch den Ursprung zum I. Quadranten.

Für negatives a vom II. Quadranten durch den Ursprung zum IV. Quadranten.

Wie groß dabei a ist, ist nicht wichtig um den Verlauf der Funktion zu bestimmen.


Ausnahme:   n=1

Für n=1 ist die Potenzfunktion eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung a

n=1    f(x)=ax



positiv_ungerade
Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:   f(x)=axn

3.Fall: n ist negativ und gerade

Beispiel:

n=-2        f(x)=ax-2    f(x)=1x2

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten n heißen Hyperbeln. Sie bestehen aus 2 "Ästen" die wegen dem geraden Exponenten n symmetrisch bezüglich der y-Achse sind. (siehe Bild)

Ist a positiv dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im I. und II. Quadranten.
Sie schneiden in keinen Punkt sowohl die x-Achse als auch die y-Achse.
Die Koordinaten-Achsen sind sogenannte Asymptoten.

Ist a negativ dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im III. und IV. Quadranten.
Auch hier hat die Potenzfunktion keine Nullstelle und die Koordinaten-Achsen sind Asymptoten.



negativ_gerade
Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:   f(x)=axn

4.Fall: n ist negativ und ungerade

Beispiel:

n=-1        f(x)=ax-1    f(x)=1x

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten n heißen Hyperbeln. Sie bestehen aus 2 "Ästen" die wegen dem ungeraden Exponenten n symmetrisch bezüglich dem Ursprung (0|0) sind. (siehe Bild)

Ist a positiv dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im I. und III. Quadranten.
Sie schneiden in keinen Punkt sowohl die x-Achse als auch die y-Achse.
Die Koordinaten-Achsen sind sogenannte Asymptoten.

Ist a negativ dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im II. und IV. Quadranten.
Auch hier hat die Potenzfunktion keine Nullstelle und die Koordinaten-Achsen sind Asymptoten.



negativ_ungerade
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