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Verlauf einer Potenzfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie kann man an der Funktionsgleichung erkennen, wie eine Potenzfunktion ungefähr aussieht?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Definitionsbereich
Potenzfunktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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n = 2

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n = - 2

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Ist die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion gegeben, dann kann man immer den dazugehörigen Graphen in einem Koordinaten-System einzeichnen.

Dazu betrachtet man das Vorzeichen des Parameterwertes a und den Exponenten $n$ und unterscheidet folgende 4 Fälle:

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:

f (x) = a \cdot x^{n}

1.Fall:

n

ist positiv und gerade

Beispiel:

n = 2 \Rightarrow f (x) = a \cdot x^{2}

Potenzfunktionen mit positiven Exponenten

n

heißen Parabeln und verhalten sich bei geradem Exponenten

n

alle ähnlich wie die quadratische Funktion,

d . h

. ihre Graphen sehen alle ungefähr aus wie eine Normalparabel. (siehe Bild)

Ist a positiv dann kommt die Potenzfunktion aus dem positiven Unendlichem, hat bei

x = 0

eine Nullstelle, die ein Tiefpunkt ist, und geht dann ins positive Unendliche.

Ist a negativ dann kommt die Potenzfunktion aus dem negativen Unendlichem, hat bei

x = 0

eine Nullstelle, die ein Hochpunkt ist, und geht dann ins negative Unendliche.

Das Vorzeichen von a sagt also aus in welchen Quadranten der Graph der Potenzfunktion verläuft.

Für positives a vom II. Quadranten durch den Ursprung zum I. Quadranten.

Für negatives a vom III. Quadranten durch den Ursprung zum IV. Quadranten.

Wie groß dabei a ist, ist nicht wichtig um den Verlauf der Funktion zu bestimmen.

positiv_gerade

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:

f (x) = a \cdot x^{n}

2.Fall:

n

ist positiv und ungerade

Beispiel:

n = 3 \Rightarrow f (x) = a \cdot x^{3}

Auch Potenzfunktionen mit ungeraden positiven Exponenten

n

heißen Parabeln aber verhalten sich wegen dem ungeraden Exponeten

n

anders als die quadratische Funktion (jedoch sehen sie sich unter einander sehr ähnlich). (siehe Bild)

Ist a positiv dann kommt die Potenzfunktion aus dem negativen Unendlichem, hat bei

x = 0

eine Nullstelle, die ein Sattelpunkt ist, und geht dann ins positive Unendliche.

Ist a negativ dann kommt die Potenzfunktion aus dem positiven Unendlichem, hat bei

x = 0

eine Nullstelle, die ein Sattelpunkt ist, und geht dann ins negative Unendliche.

Das Vorzeichen von a sagt also aus in welchen Quadranten der Graph der Potenzfunktion verläuft:

Für positives a vom III. Quadranten durch den Ursprung zum I. Quadranten.

Für negatives a vom II. Quadranten durch den Ursprung zum IV. Quadranten.

Wie groß dabei a ist, ist nicht wichtig um den Verlauf der Funktion zu bestimmen.

Ausnahme:

n = 1

Für

n = 1

ist die Potenzfunktion eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung a

n = 1 \Rightarrow f (x) = a \cdot x

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:

f (x) = a \cdot x^{n}

3.Fall:

n

ist negativ und gerade

Beispiel:

n = - 2 \Rightarrow f (x) = a \cdot x^{- 2} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{x^{2}}

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

n

heißen Hyperbeln. Sie bestehen aus 2 "Ästen" die wegen dem geraden Exponenten

n

symmetrisch bezüglich der y-Achse sind. (siehe Bild)

Ist a positiv dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im I. und II. Quadranten.
Sie schneiden in keinen Punkt sowohl die x-Achse als auch die y-Achse.
Die Koordinaten-Achsen sind sogenannte Asymptoten.

Ist a negativ dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im III. und IV. Quadranten.
Auch hier hat die Potenzfunktion keine Nullstelle und die Koordinaten-Achsen sind Asymptoten.

negativ_gerade

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion:

f (x) = a \cdot x^{n}

4.Fall:

n

ist negativ und ungerade

Beispiel:

n = - 1 \Rightarrow f (x) = a \cdot x^{- 1} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{x}

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

n

heißen Hyperbeln. Sie bestehen aus 2 "Ästen" die wegen dem ungeraden Exponenten

n

symmetrisch bezüglich dem Ursprung

(0 | 0)

sind. (siehe Bild)

Ist a positiv dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im I. und III. Quadranten.
Sie schneiden in keinen Punkt sowohl die x-Achse als auch die y-Achse.
Die Koordinaten-Achsen sind sogenannte Asymptoten.

Ist a negativ dann liegen die zweit Hyperbel-Äste im II. und IV. Quadranten.
Auch hier hat die Potenzfunktion keine Nullstelle und die Koordinaten-Achsen sind Asymptoten.

negativ_ungerade

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