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Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

 
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Wie findet man die quadratische Ergänzung?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Ergänzung
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
1) Beispiel

Die quadratische Funktion   y=x2-2x   soll in die Scheitelpunktform gebracht werden.

Die Frage ist nun:

Was muss man zur Funktionsgleichung addieren damit man einen Ausdruck der Form:

a2- 2ab +b2   bekommt?

Dieser Ausdruck ist die sogenannte zweite binomische Formel:

(a-b)2=a2-2ab+b2

Vergleicht man die binomische Formel mit der Funktionsgleichung, dann ergibt sich:

quadratische_ergaenzung_ma_1

Aus a2=x2 folgt:   x=a

Aus -2ab =-2x und x=a folgt:   b=1

Die quadratische Ergänzung ist also b2=12=1

Sie wird nun einmal zur Funktionsgleichung hinzugefügt und einmal abgezogen:

y=x2-2x+1-1

Klammert man nun die ersten 3 Terme zusammen und wendet die zweite binomische Formel an, so ergibt sich die gesuchte Scheitelopunktform der quadratischen Funktion:

y=(x2-2x+1)-1

y=(x-1)2-1


2) Beispiel

Die quadratische Funktion   y=x2+4x+5   soll in die Scheitelpunktform gebracht werden.

Die Frage ist nun:

Was muss man zur Funktionsgleichung addieren damit man einen Ausdruck der Form:

a2+ 2ab +b2   bekommt?

Dieser Ausdruck ist die sogenannte erste binomischen Formel:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Man betrachtet nun den quadratischen Term x2 und den linearen Term 4x und vergleicht sie mit der binomischen Formel:

quadratische_ergaenzung_ma_2

Aus a2=x2 folgt:   x=a

Aus 2ab =4x und x=a folgt:   2ab=4a  b=4a2a=2

Die quadratische Ergänzung ist also b2=22=4

Sie wird nun einmal zur Funktionsgleichung hinzugefügt und einmal abgezogen:

y=x2+4x+4-4+5

Klammert man nun die ersten 3 Termen zusammen und wendet die erste binomische Formel an, so ergibt sich die gesuchte Scheitelpunktform der quadratischen Funktion:

y=(x2+4x+4)-4+5

y=(x+2)2+1


3) Beispiel

Die quadratische Funktion   y=2x2+6x-3   soll in die Scheitelpunktform gebracht werden.

In diesem Beispiel hat der quadratische Term 2x2 einen Vorfaktor 2.
Dieser wird ausgeklammert:

y=2(x2+3x-32)

Die Frage ist nun:

Was muss man zur Funktionsgleichung addieren damit man einen Ausdruck der Form:

a2+ 2ab +b2   bekommt?

Dieser Ausdruck ist die sogenannte erste binomischen Formel:

(a+b)2=a2+2ab+b2


Man betrachtet nun den Term in der Klammer und vergleicht ihn mit der binomischen Formel:

quadratische_ergaenzung_ma_3

Aus a2=x2 folgt:   x=a

Aus 2ab =3x und x=a folgt:   2ab=3a  b=3a2a=32

Die quadratische Ergänzung ist also b2=(32)2=94

Sie wird nun einmal zur Funktionsgleichung hinzugefügt und einmal abgezogen:

y=2(x2+3x+94-94-32)

Klammert man nun die ersten 3 Termen zusammen und wendet die erste binomische Formel an, so ergibt sich die gesuchte Scheitelpunktform der quadratischen Funktion:

y=2((x2+3x+94)-94-32)

y=2((x+32)2-154)

y=2(x+32)2-152


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