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Herleitung der Kreiszahl Pi

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie kann man die Kreiszahl π herleiten?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Wie kann man mit einfachen Mitteln die Zahl π bestimmen?

Für alle Kreis gilt: Der Umfang U ist das π- fache des Durchmessers d

U=πd


Das heißt, hat man einmal den Umfang U und den Durchmesser eines Kreises gemessen
so kann man den Wert von π bestimmen durch:

π=Ud

Jedoch ist es sehr schwierig den Umfang eines Kreises zu messen.
Einen genaueren Wert von π erhält man durch mathematische Näherungsverfahren die dann in der Regel durch Computerprogramme durch geführt werden.
Gibt es ein Algorithmus zur Berechnung von π ?

Es gibt jede Menge Algorithmen zur Berechnung von π.

Empfehlenswert ist das Buch "Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik" (Springer Verlag Heidelberg 1998; ISBN 3-540-63419-3; Autoren: J. Arndt, Ch. Haenel. Dort findet man unter anderem auch Quellprogramme zu den wichtigsten π -Algorithmen.

Mehr über die Zahl π findet man z.B unter
http//de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
http//pi314.at/
http//www.mathsoft.com/asolve/constant/pi/pi.html
http//www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/paper.html
Beispiel eines Näherungsverfahren

Man wählt ein Kreis aus mit Radius r=0,5

Der Umfang des Kreises ist dann gleich

U=2πr=2π0,5=π

Ziel ist es also den Umfang des Kreises näherungsweise zu bestimmen, dann kommt man an die Zahl π ran.

Man zeichnet nun ein regelmäßiges Dreieck in den Kreis ein.

bild_1

Verdoppelt man anschließend die Anzahl der Eckpunkte, erhält man ein 6-eck usw...
Aus einem n-Eck wird so ein 2n-Eck. Mit wachsender Eckenanzahl nähert sich das n-Eck immer mehr der Kreislinie an und somit an die Zahl π.

n=6

bild_2

n=12

bild_3


Ist die Länge der n-Eckseite bekannt, so kann man aus ihr die Länge der 2n-Eckseite ausrechnen.


Hier ein Ausschnitt eines 2n-Eck.

bild_4

Dabei ist:

M der Mittelpunkt des Kreises
A,B,C Punkte des 2n-Eck
s2n die Seite des 2n-Ecks
sn die Seite des n-Ecks

Dann gilt:

MA=0,5

AC=sn

AB=BC=s2n

AF=FC=0,5sn

Im Dreieck ABF gilt wegen Pythagoras die Beziehung (1)

AB2=BF2+AF2s2n2=BF2+(sn2)2

Im Dreieck MAF gilt wegen Pythagoras die Beziehung

MF2=MA2-AF2MF2=(12)2-(sn2)2

MF=(12)2-(sn2)2

BF lässt sich dann schreiben als:

BF=MB-MF=12-(12)2-(sn2)2

Setzt man nun BF in die Beziehung (1) ein, so gilt folgendes:

s2n2=(12-(12)2-(sn2)2)2+(sn2)2

Durch Auflösen der Klammer und Umformen der Terme, gilt dann für s2n:

s2n=(12(1-1-sn2))

Somit gilt für den Umfang des 2n-Eckes:

U=ns2n

Beginnt man nun mit einem 6-Eck kann man sich immer weiter π annähern. Da die 6 Dreiecke aus denen das 6-Eck besteht gleichschenklige Dreiecke sind, kommt man leicht auf den Start-Wert: s6=0,5

bild_5

Die Tabelle zeigt wie man sich π nähern kann (dabei wurde die Seitenlänge des 2n-Ecks mit der Seitenlänge des Vorgängers bestimmt)


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