Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion II

Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion II

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet:

f(x)=ax

wobei a die Basis und x die Variable ist (a ).

I.d.R werden verkettete Funktion im Zusammenhang mit einer Exponentialfunktion untersucht, also Funktionen der Form:

f(x)=g(x)ah(x)

g(x) und h(x) sind beliebige stetige Funktionen.


Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:


1) Ableitungen bilden:   f'(x),f''(x) und f'''(x)

Wie man eine Exponentialfunktion ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableiten von Exponentialfunktionen



2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.



3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:   f(x)=0

Funktionen der Form ag(x) besitzen keine Nullstellen.



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

limxf(x)

limx-f(x)



5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f(-x)=f(x)     Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f(-x)=-f(x)     Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)

Da die Exponentialfunktion ax keine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt, kann diese auch für Funktionen der Form g(x)ax ausgeschlossen werden.



6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da Exponentialfunktionen stetig sind, gilt:

f'(x)>0     Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)<0     Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.



7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:   f'(x)=0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen



8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:     f''(x)=0

Prüfung mit f'''(x0)0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen



9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Beispiel

f(x)=(x2-4)e-12x



1) Ableitungen bilden:

Verwendete Ableitungsregel: Produktregel

f'(x)=(-12x2+2x+2)e-12x

f''(x)=(14x2-2x+1)e-12x

f'''(x)=(-18x2+32x+52)e-12x



2) Definitionsbereich bestimmen:

Die Funktionen x2-4 und e-12x sind auf ganz definiert.

Df=



3) Nullstellen bestimmen:

f(x)=0

(x2-4)e-12x=0

e-12x hat keine Nullstellen.

x2-4=0

x2=4

x1,2=±4=±2

Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen x1=-2 und x2=2

f(0)=(02-4)e-120=-4

Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle y=-4

MA_KD_eFunktion_II_Nullstellen



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

limxf(x)=limx(x2-4)e-12x=limxx2-4e12x=limx2x12e12x=0+

Für obigen Limes wurde die Regel von l'Hospital verwendet.

Die Funktion nähert sich von oben im Unendlichem an die x-Achse.

limx-f(x)=limx-(x2-4)e-12x=

MA_KD_eFunktion_II_Grenzen



5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

Da die e-Funktion keine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt, kann diese auch für f(x) ausgeschlossen werden.
6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen (in welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f'(x)=(-12x2+2x+2)e-12x

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f'(x)=0

  (-12x2+2x+2)e-12x=0

Da die Funktion e-12x auf ganz positiv ist erkennt man leicht, dass der Vorzeichenwechsel nur durch den ersten Faktor der Ableitung bestimmt wird.

Die Funktion -12x2+2x+2 stellt eine nach unten gekrümmte Parabel da.

-12x2+2x+2=0

  x1,2=-2±22-4(-12)22(-12)=-2±8-1=2±8

x1=2-8-0,83

x2=2+84,83

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

MA_KD_eFunktion_II_Ableitung

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f'(x)<0 für   x]-;2-8[   und für   x]2+8;[
Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)>0 für   x]2-8;2+8[
Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

MA_KD_eFunktion_II_Monotonie
7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f'(x)=0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen x1=2-8 und x2=2+8

Bei x1=2-8-0,83 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach + Minimum

Bei x2=2+84,83 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von + nach - (lokales) Maximum

f(x1)=f(2-8)-5,02

  P(-0,83|-5,02) Minimum

f(x2)=f(2+8)1,73

  Q(4,83|1,73) Maximum

MA_KD_eFunktion_II_Extrema



8) Wendepunkte bestimmen:

f''(x)=0

  (14x2-2x+1)e-12x=0

14x2-2x+1=0

  x1,2=-(-2)±(-2)2-4141214=2±312=4±23

f'''(x)=(-18x2+32x+52)e-12x

  f'''(x1)=f'''(4-23)-1,320

Bei x1=4-230,54 hat die Funktion ein Wendepunkt.

  f'''(x2)=f'''(4+23)0,040

Bei x2=4+237,46 hat die Funktion einen zweiten Wendepunkt.

  f'''(x1)-1,32<0

Bei x1=4-230,54 wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve.

  f'''(x2)0,04>0

Bei x2=4+237,46 wechselt die Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

f(x1)=f(4-23)-2,84

  W1(0,54|-2,84) Wendepunkt

f(x2)=f(4+23)1,24

  W2(7,46|1,24) Wendepunkt

MA_KD_eFunktion_II_Wendepunkt



9) Zeichnung:

MA_KD_eFunktion_II_Graph
Wie hilft Dir dieser Artikel?
 
Diese Erklärung hat mir geholfen
 
Diese Erklärung hat mir teilweise geholfen
 
Diese Erklärung hat mir nicht geholfen
 
Ich habe eine Frage zu diesem Thema