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Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Die Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion lautet:

f (x) = {log}_{a} x

wobei a die Basis und

x

die Variable ist

(a \in ℝ^{+} \ {1})

.

I.d.R werden verkettete Funktion im Zusammenhang mit einer natürlichen Logarithmusfunktion untersucht, also Funktionen der Form:

f (x) = g (x) \cdot ln (h (x))

g (x)

und

h (x)

sind beliebige stetige Funktionen.

ln

steht für den natürlichen Logarithmus, eine Logarithmusfunktion mit der Basis

e

.

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:

1) Ableitungen bilden:

f' (x), f'' (x)

und

f''' (x)

Wie man eine Logarithmusfunktion ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableiten von Logarithmusfunktionen

2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.
Bei Logarithmusfunktionen ist zu beachten, dass das Argument der Funktion nicht negativ sein darf und ungleich Null.

3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:

f (x) = 0

Für den natürlichen Logarithmus gilt:

ln 1 = 0

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

lim_{x \to x_{1}} f (x)

lim_{x \to x_{2}} f (x)

etc...

Dabei sind

x_{1}, x_{2}, . .

. , Grenzwerte des Definitionsbereichs.

Ist Beispielsweise der Definitionsbereich

D =] - 1, \infty [,

so bildet man die Grenzwerte:

lim_{x \to - 1^{+}} f (x)

lim_{x \to \infty} f (x)

5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f (- x) = f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f (- x) = - f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0 | 0)

6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:

f' (x) = 0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen

8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:

f'' (x) = 0

Prüfung mit

f''' (x_{0}) \neq 0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen

9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Beispiel

f (x) = x \cdot ln (x^{2})

1) Ableitungen bilden:

Verwendete Ableitungsregel: Produktregel und Kettenregel

f' (x) = ln (x^{2}) + 2

f'' (x) = \frac{2}{x}

f''' (x) = - \frac{2}{x^{2}}

2) Definitionsbereich bestimmen:

Die Funktion

x

ist auf ganz

ℝ

definiert.
Die Funktion

x^{2}

ist auf ganz

ℝ

definiert.
Die ln-Funktion darf den Wert Null nicht annehmen.

\Rightarrow D_{f} = ℝ \ {0}

3) Nullstellen bestimmen:

f (x) = 0

x \cdot ln (x^{2}) = 0

x_{1} = 0

kann ausgeschlossen werden weil Null nicht im Definitionsbereich liegt.

ln (x^{2}) = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1

x_{2,3} = \pm 1

Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle

x_{2} = - 1

und

x_{3} = 1

f (0)

kann nicht berechnet werden.

Die Funktion schneidet also nicht die y-Achse.

Kurvendis.log.Fkt._defbereich_bild1

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} x \cdot ln (x^{2}) = \infty

lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} x \cdot ln (x^{2}) = - \infty

lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} x \cdot ln (x^{2}) = 0

5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

f (- x) = (- x) \cdot ln ({(- x)}^{2}) = - x \cdot ln (x^{2}) = - f (x)

\Rightarrow

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0 | 0)

6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen

(i n

welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f' (x) = ln (x^{2}) + 2

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f' (x) = 0 \Leftrightarrow ln (x^{2}) + 2 = 0

\Rightarrow ln (x^{2}) = - 2

\Rightarrow x^{2} = e^{- 2} = \frac{1}{e^{2}}

\Rightarrow x_{1,2} = \pm \frac{1}{e}

Die Funktion

f' (x)

verhält sich (im Vorzeichen) wie die Parabel

x^{2} - e^{- 2}

. Sie ist negativ zwischen ihren Nullstellen und positiv außerhalb.

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

Kurvendis.log.Fkt.ersteAbleitung_bild3

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f' (x) < 0

für

x \in] - \frac{1}{e}; 0 [\cup] 0; \frac{1}{e} [

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) > 0

für

x \in] - \infty; - \frac{1}{e} [\cup] \frac{1}{e}; \infty [

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

Kurvendis.log.Fkt.monotonie_bild4

7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f' (x) = 0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen

x_{1} = - \frac{1}{e}

und

x_{2} = \frac{1}{e}

Bei

x_{1} = - \frac{1}{e}

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von

+

nach

- \Rightarrow

Maximum

f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \cdot ln ({(- \frac{1}{e})}^{2}) = \frac{2}{e}

\Rightarrow P (- \frac{1}{e} | \frac{2}{e})

Maximum

Bei

x_{2} = \frac{1}{e}

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach

+ \Rightarrow

Minimum

f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \cdot ln ({(\frac{1}{e})}^{2}) = - \frac{2}{e}

\Rightarrow P (\frac{1}{e} | - \frac{2}{e})

Minimum

8) Wendepunkte bestimmen:

f'' (x) = 0

\frac{2}{x} = 0

\Rightarrow

Die zweite Ableitung hat keine Nullstellen.

\Rightarrow

Die Funktion

f (x)

hat keinen Wendepunkt.

9) Zeichnung:

Kurvendis.log.Fkt.Graph_bild6

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