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Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Die Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion lautet:

f(x)=logax

wobei a die Basis und x die Variable ist (a+\{1}).

I.d.R werden verkettete Funktion im Zusammenhang mit einer natürlichen Logarithmusfunktion untersucht, also Funktionen der Form:

f(x)=g(x)ln(h(x))

g(x) und h(x) sind beliebige stetige Funktionen.

ln steht für den natürlichen Logarithmus, eine Logarithmusfunktion mit der Basis e.


Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:


1) Ableitungen bilden:   f'(x),f''(x) und f'''(x)

Wie man eine Logarithmusfunktion ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableiten von Logarithmusfunktionen



2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.
Bei Logarithmusfunktionen ist zu beachten, dass das Argument der Funktion nicht negativ sein darf und ungleich Null.



3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:   f(x)=0

Für den natürlichen Logarithmus gilt:   ln1=0



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

limxx1f(x)

limxx2f(x)

etc...

Dabei sind x1,x2,... , Grenzwerte des Definitionsbereichs.

Ist Beispielsweise der Definitionsbereich D=]-1,[, so bildet man die Grenzwerte:

limx-1+f(x)

limxf(x)



5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f(-x)=f(x)     Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f(-x)=-f(x)     Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)



6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.



7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:   f'(x)=0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen



8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:     f''(x)=0

Prüfung mit f'''(x0)0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen



9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Beispiel

f(x)=xln(x2)



1) Ableitungen bilden:

Verwendete Ableitungsregel: Produktregel und Kettenregel

f'(x)=ln(x2)+2

f''(x)=2x

f'''(x)=-2x2



2) Definitionsbereich bestimmen:

Die Funktion x ist auf ganz definiert.
Die Funktion x2 ist auf ganz definiert.
Die ln-Funktion darf den Wert Null nicht annehmen.

Df=\{0}



3) Nullstellen bestimmen:

f(x)=0

xln(x2)=0

x1=0   kann ausgeschlossen werden weil Null nicht im Definitionsbereich liegt.

ln(x2)=0  x2=1

x2,3=±1

Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle x2=-1 und x3=1

f(0) kann nicht berechnet werden.

Die Funktion schneidet also nicht die y-Achse.

Kurvendis.log.Fkt._defbereich_bild1



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

limxf(x)=limxxln(x2)=

limx-f(x)=limx-xln(x2)=-

limx0f(x)=limx0xln(x2)=0

Kurvendis.log.Fkt.grenzwerte_bild2



5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

f(-x)=(-x)ln((-x)2)=-xln(x2)=-f(x)

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen (in welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f'(x)=ln(x2)+2

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f'(x)=0    ln(x2)+2=0

  ln(x2)=-2

  x2=e-2=1e2

  x1,2=±1e

Die Funktion f'(x) verhält sich (im Vorzeichen) wie die Parabel x2-e-2. Sie ist negativ zwischen ihren Nullstellen und positiv außerhalb.

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

Kurvendis.log.Fkt.ersteAbleitung_bild3

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f'(x)<0 für   x]-1e;0[    ]0;1e[
Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)>0 für   x]-;-1e[    ]1e;[
Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

Kurvendis.log.Fkt.monotonie_bild4
7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f'(x)=0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen x1=-1e und x2=1e

Bei x1=-1e wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von + nach - Maximum

f(-1e)=(-1e)ln((-1e)2)=2e

  P(-1e|2e) Maximum


Bei x2=1e wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach + Minimum

f(1e)=(1e)ln((1e)2)=-2e

  P(1e|-2e) Minimum

Kurvendis.log.Fkt.extremwerte_bild5



8) Wendepunkte bestimmen:

f''(x)=0

2x=0

   Die zweite Ableitung hat keine Nullstellen.

   Die Funktion f(x) hat keinen Wendepunkt.


9) Zeichnung:

Kurvendis.log.Fkt.Graph_bild6
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