Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion III

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion III

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Die Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion lautet:

f(x)=logax

wobei a die Basis und x die Variable ist (a+\{1}).

I.d.R werden verkettete Funktion im Zusammenhang mit einer natürlichen Logarithmusfunktion untersucht, also Funktionen der Form:

f(x)=g(x)ln(h(x))

g(x) und h(x) sind beliebige stetige Funktionen.

ln steht für den natürlichen Logarithmus, eine Logarithmusfunktion mit der Basis e.


Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:


1) Ableitungen bilden:   f'(x),f''(x) und f'''(x)

Wie man eine Logarithmusfunktion ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableiten von Logarithmusfunktionen



2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.
Bei Logarithmusfunktionen ist zu beachten, dass das Argument der Funktion nicht negativ sein darf und ungleich Null.



3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:   f(x)=0

Für den natürlichen Logarithmus gilt:   ln1=0



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

limxx1f(x)

limxx2f(x)

etc...

Dabei sind x1,x2,... , Grenzwerte des Definitionsbereichs.

Ist Beispielsweise der Definitionsbereich D=]-1,[, so bildet man die Grenzwerte:

limx-1+f(x)

limxf(x)



5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f(-x)=f(x)     Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f(-x)=-f(x)     Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)



6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.



7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:   f'(x)=0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen



8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:     f''(x)=0

Prüfung mit f'''(x0)0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen



9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Beispiel

f(x)=ln(2x-4x)



1) Ableitungen bilden:

Verwendete Ableitungsregel: Quotientenregel und Kettenregel

f'(x)=2x2-2x

f''(x)=-4x+4(x2-2x)2



2) Definitionsbereich bestimmen:

2x-4x>0

2x-4>0    x>2

x>0

Das Argument der Logarithmusfunktion muss positiv sein.

Kurvendis.log.Fkt_III_Zahlenstrahl_positiv

Df=]-;0[]2;[



3) Nullstellen bestimmen:

f(x)=0

ln(2x-4x)=0

ln(2x-4x)=ln1

2x-4x=1

2x-4=x

x-4=0

x=4

Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle x=4.

f(0) ist nicht zulässig, da 0 nicht im Definitionsbereich von f(x) liegt.

Die Funktion schneidet nicht die y-Achse.

Kurvendis.log.Fkt_III_bild1_Nullstelle



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

Für die gebrochen rationale Funktion 2x-4x gilt:

limx±2x-4x=limx±2-4x=2


Somit ergeben sich folgende Grenzwerte:


limx±f(x)=limx±ln(2x-4x)=ln2

   Die Funktion hat eine waagerechte Asymptote y=ln2



limx0-f(x)=limx0-ln(2x-4x)=

   Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote x=0


limx2+f(x)=limx2+ln(2x-4x)=-

   Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote x=2


Kurvendis.log.Fkt_III_Grenzwerte



5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

f(-x)=ln(2(-x)-4-x)=ln(2x+4x)

f(-x)f(x)

f(-x)-f(x)

Die Funktion ist nicht symmetrisch bzgl. dem Koordinatensystem.
6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen (in welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f'(x)=2x2-2x

Die Nennerfunktion ist hier entscheidend für den Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion.

x2-2x=0

x(x-2)=0

x1=0

x2=2


Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

Kurvendis.log.Fkt_III_Ableitung

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f'(x)<0 für   x]0;2[
Der Definitionsbereich von f(x) schließt diesen Bereich aus.

f'(x)>0 für   x]-;0[]2;[
Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

Kurvendis.log.Fkt_III_monotonie
7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f'(x)=0

Nach obiger Rechnung hat die Ableitungsfunktion keine Nullstelle.
   Die Funktion f(x) hat somit keine Extrempunkte.


8) Wendepunkte bestimmen:

f''(x)=0

-4x+4(x2-2x)2=0

-4x+4=0

  x=1Df  (x=1 liegt nicht im Definitionsbereich der Funktion)
   Die Funktion f(x) hat keine Wendepunkte.


9) Zeichnung:

Kurvendis.log.Fkt_III_Graph
Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus dem Bruch zweier Funktionen. Die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion lautet:

f(x)=p(x)q(x)

p(x) und q(x) sind dabei Polynomfunktionen der Form:   anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0.

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:


1) Ableitungen bilden:   f'(x),f''(x) und f'''(x)

Für die Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion braucht man die Quotientenregel



2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.

Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus einem Bruch. Die Nennerfunktion darf dabei nicht Null werden.

Ansatz: q(x)=0



3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:\quad f(x)=0    p(x)=0



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet die Grenzwerte an den äußeren Rändern des Definitionsbereichs und an den Definitionslücken.

Ist z.B  Df=\{1}   so bildet man die Grenzwerte:

limxf(x)

limx-f(x)

limx1+f(x)

limx1-f(x)

limx1+   bedeutet, dass man sich der "1" von rechts nähert.

limx1-   bedeutet, dass man sich der "1" von links nähert.



5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f(-x)=f(x)     Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f(-x)=-f(x)     Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)



6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da gebrochen-rationale Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind, gilt:

f'(x)>0   Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)<0   Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.



7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:   f'(x)=0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen



8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:     f''(x)=0

Prüfung mit f'''(x0)0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen



9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Wie hilft Dir dieser Artikel?
 
Diese Erklärung hat mir geholfen
 
Diese Erklärung hat mir teilweise geholfen
 
Diese Erklärung hat mir nicht geholfen
 
Ich habe eine Frage zu diesem Thema