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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades II
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
 
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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet: wobei die Variable und und die Koeffizienten sind. Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf: 1) Ableitungen bilden: und Wie man eine ganzrationale Funktion 4. Grades ableitet kann hier nach gelesen werden: Ableitung einer Polynomfunktion 2) Definitionsbereich bestimmen In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist. Für einer ganzrationale Funktion 4. Grades gilt stets: 3) Nullstellen bestimmen Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse. Ansatz: Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat maximal 4 Nullstellen. Wie man Nullstellen im Detail bestimmt kann hier nach gelesen werden: Nullstellen von Polynomfunktionen 4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs Man bildet folgende Grenzwerte: Wie bei jeder Polynomfunktion bestimmt der Term mit der höchsten Potenz den charakteristischen Verlauf der Funktion. Somit bestimmt bei einer ganzrationalen Funktion 4. Grades der Term den Verlauf des Funktionsgraphen für ganz große bzw. sehr kleine Zahlen: Ist der Koeffizient a positiv, dann ist (Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte) und (Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte) Ist der Koeffizient a negativ, dann ist (Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte) und (Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte) 5)Symmetrie zum Koordinatensystem I.d.R ist zu prüfen ob gilt: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung 6) Monotonieverhalten In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton? Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist. Da ganzrationale Funktionen 4. Grades stetig sind, gilt: Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton. Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton. 7) Extrema /Terrassenpunkte Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte? Der Ansatz ist: Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt. Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden: Extrempunkte eines Funktionsgraphen Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden: Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen 8) Wendepunkte Wo hat die Funktion Wendepunkte? Der Ansatz ist: Prüfung mit Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden: Wendepunkte eines Funktionsgraphen 9) Zeichnung Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden. |
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Beispiel 1) Ableitungen bilden: 2) Definitionsbereich bestimmen: 3) Nullstellen bestimmen: Ausklammern von (dreifache Nullstelle) Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen 0 und 2  4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs: da da  5) Symmetrie zum Koordinatensystem: Da sowohl ungerade als auch gerade Hochzahlen in der Funktion vorkommen, kann eine Symmetrie zum Koordinatensystem ausgeschlossen werden. |
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6) Monotonieverhalten: Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion. Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an. Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt). Ausklammern von Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt. Man erkennt leicht, dass der Vorzeichenwechsel nur durch den zweiten Faktor der Ableitung bestimmt wird ist immer positiv). für Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton. für Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.  Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:  Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen. |
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7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen: Nach obiger Rechnung hat die Funktion ein Extrempunkt an den Stellen Bei wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von nach Maximum Bei wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen nicht! Es bleibt immer positiv. Einsetzten von in die zweite Ableitung zeigt, dass auch eine Nullstelle der zweiten Ableitung ist. Evlt. liegt bei ein Terrassenpunkt vor. Bei hat die Funktion ein Terrassenpunkt. Terrassenpunkt Maximum  8) Wendepunkte bestimmen: Mit dem Terrassenpunkt bei haben wir bereits einen Wendepunkt gefunden. Es könnte aber noch weitere Wendepunkte geben. Ausklammern von wurde bereits untersucht Bei hat die Funktion ein Wendepunkt. Bei wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Wendepunkt  9) Zeichnung:  |
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