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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet:

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e

wobei x die Variable und die a,b,c,d und e die Koeffizienten sind. (a,b,c,d,e)

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:


1) Ableitungen bilden:   f'(x),f''(x) und f'''(x)

Wie man eine ganzrationale Funktion 4. Grades ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableitung einer Polynomfunktion



2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.

Für einer ganzrationale Funktion 4. Grades gilt stets:   D=



3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:   f(x)=0

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat maximal 4 Nullstellen.

Wie man Nullstellen im Detail bestimmt kann hier nach gelesen werden:
Nullstellen von Polynomfunktionen



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

limxf(x)

limx-f(x)

Wie bei jeder Polynomfunktion bestimmt der Term mit der höchsten Potenz den charakteristischen Verlauf der Funktion. Somit bestimmt bei einer ganzrationalen Funktion 4. Grades der Term ax4 den Verlauf des Funktionsgraphen für ganz große bzw. sehr kleine Zahlen:

Ist der Koeffizient a positiv, dann ist

limxf(x)=+
(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)

und

limx-f(x)=+
(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)


Ist der Koeffizient a negativ, dann ist

limxf(x)=-
(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)
und

limx-f(x)=-
(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)



5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f(-x)=f(x)     Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f(-x)=-f(x)     Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)



6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da ganzrationale Funktionen 4. Grades stetig sind, gilt:

f'(x)>0     Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)<0     Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.



7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:   f'(x)=0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen



8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:     f''(x)=0

Prüfung mit f'''(x0)0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen



9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Beispiel

f(x)=x42x2+1



1) Ableitungen bilden:

f'(x)=4x3-4x+1

f''(x)=12x2 – 4

f'''(x)=24x



2) Definitionsbereich bestimmen:

D=



3) Nullstellen bestimmen:

f(x)=0

x42x2+1=0

Es handelt sich hier um eine biquadratische Gleichung.
(Zu erkennen daran, dass kein Term mit ungeradem Exponenten enthalten ist)

Substitution mit t=x2:

  t22t+1=0

Lösen mit der Mitternachtsformel:

  t1,2=2±4-42=1

Resubstitution:

t=x2=1

  x1=1   und   x2=-1


Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen -1 und 1

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4 Grades_bild1



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

limxf(x)=,     da a=1>0

limx-f(x)=,     da a=1>0

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4 Grades_bild_Grenzwerte



5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

f(-x)=(-x)4-2(-x)2+1=x42x2+1=f(x)

f(-x) ist gleich f(x)

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen (in welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f'(x)=4x3-4x2

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f'(x)=0

  4x3-4x=0

4x(x2-1)=0

  x1=0

x2-1=0

  x2=1   und   x3=-1

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

f'(x)=4x(x2-1)

Der Funktionsterm der 1. Ableitung ist ein Produkt. Der erste Faktor entspricht einer Ursprungsgeraden und der zweite Faktor einer nach oben geöffnete Parabel.

Um herauszufinden, in welchen Bereichen f'(x) positives Vorzeichen hat, müssen beide Faktoren positiv oder beide negativ sein.

ZS_positiv

Um herauszufinden, in welchen Bereichen f'(x) negatives Vorzeichen hat, müssen beide Faktoren unterschiedliches Vorzeichen haben.

ZS_negativ

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4 Grades_Ableitung

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f'(x)>0   für   x]-1;0[]1;[
Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)<0   für   x]-;-1[]0;1[
Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4 Grades_Ableitung2
7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f'(x)=0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen x1=0,x2=1 und x3=-1

Bei x1=0 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von + nach - (lokales) Maximum

Bei x2=1 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach + Minimum

Bei x3=-1 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach + Minimum

f(0)=00+1=1

    P(0|1) Maximum

f(1)=14-212+1=0

    Q(1|0) Minimum

Wegen der Achsensymmetrie ist

    R(-1|0) Minimum     (R ist Spiegelpunkt von Q an der y-Achse)

Da die Nullstellen gleich der Minima sind, berührt der Graph der Funktion die x-Achse in diesen Punkten.

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4 Grades_bild4_Extrema



8) Wendepunkte bestimmen:

f''(x)=0

  12x24=0

12x2=4

x2=412=13

  x1,2=±13


f'''(x)=24x

  f'''(x1)=f'''(-13)=-24130

Bei x1=-13 hat die Funktion ein Wendepunkt.

  f'''(x2)=f'''(13)=24130

Bei x2=13 hat die Funktion einen zweiten Wendepunkt.

  f'''(-13)=-2413<0

Bei x1=-13 wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve.

  f'''(13)=2413>0

Bei x2=13 wechselt die Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.


f(±13)=(±13)4-2(±13)2+1=1923+1=49

      W1(-13|49)   und   W2(+13|49)   Wendepunkte


Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4 Grades_bild5_Wendepunkte



9) Zeichnung:

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4 Grades_bild6_Graph



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