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Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem   00   oder      herauskommt?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Die Regel von l'Hospital lautet:

limxx0f(x)g(x)=limxx0f'(x)g'(x)



Durch das separate Ableiten der Zähler- und Nennerfunktion kann der Grenzwert bestimmt werden.

Dies wendet man an, wenn bei einem Grenzwert   00   oder      herauskommt.

Voraussetzungen, damit man die Regel von l'Hospital anwenden darf:

  -Der Grenzwert   f'(x)g'(x)   existiert
  -f(x) und g(x)   sind in einer Umgebung von x0 differenzierbar
  -g'(x)0   (zumindest in einer Umgebung von x0)

Beispiel

limx14x-4x-1=limx1(4x-4)0(x-1)0=?

Regel von l’Hospital anweden:

limx14x-4x-1=limx1(4x-4)'(x-1)'=limx141=4
Beispiel

limxx-1ex=limx(x-1)(ex)=?

Regel von l’Hospital anweden:

limxx-1ex=limx(x-1)'(ex)'=limx1ex=0
Beispiel

limx0sin(x)x=limx0sin(x)0x0=?

Regel von l’Hospital anweden:

limx0sin(x)x=limx0(sin(x))'(x)'=limx0cosx1=1
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