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Grenzwert einer Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Wenn man von dem Grenzwert einer Funktion spricht, dann muss man unterscheiden zwischen dem Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 und dem Grenzwert einer Funktion im Unendlichen.

Man schreibt hierfür:

limxx0f(x)       (Grenzwert im Punkt x0)

limx±f(x)       (Grenzwert im Unendlichen)

Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0

Untersucht man die Funktion an einer Stelle x0, die nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört, ist zunächst zu unterscheiden, ob es sich um eine Definitionslücke oder um die äußere Grenze des Definitionsbereichs handelt.

Beispiel:

f(x)=1x

Wir betrachten f an der Stelle x0=0. Die Funktion hat an dieser Stelle eine Definitionslücke (Df= {0}).
Zunächst bilden wir den rechtsseitigen Grenzwert:

limx0+1x=

(Begründung: Der Betrag des Nenners wird immer kleiner, da durch wird der Betrag des Bruchs größer. Da Zähler und Nenner positiv sind, hat der Bruch positives Vorzeichen.)

Nun bilden wir den linksseitigen Grenzwert:

limx0-1x=-

(Begründung: Der Betrag des Nenners wird immer kleiner, da durch wird der Betrag des Bruchs größer. Da aber durch eine negative Zahl geteilt wird, hat auch der Bruch negatives Vorzeichen.)

Somit hat f(x)=1x an der Stelle x0 eine Polstelle

Beispiel:

g(x)=ln(x+1)

Wir betrachten g an der Stelle x0=-1.
Der Definitonsbereich endet an dieser Stelle.

(Dg=]-1;[)

Daher müssen wir nur den rechtsseitigen Grenzwert bilden, da der linksseitige Grenzwert nicht existiert.

Formel1

Grenzwert einer Funktion im Unendlichen

Mit limxf(x) ist gemeint:

Wie verhalten sich die Funktionwerte, wenn man sehr große x-Werte (z.B. 1000) in den Funktionsterm einsetzt.

Mit limx-f(x) ist gemeint:

Wie verhalten sich die Funktionwerte, wenn man sehr kleine x-Werte (z.B. -1000) in den Funktionsterm einsetzt.

Beispiel:

f(x)=1x

limx1x=0

Je größer die Zahlen sind, die man für x einsetzt, desto mehr nähert sich der Bruch dem Wert Null an.

f(x)=2x

limx2x=

Je größer die Zahlen sind, die man für x einsetzt, desto größer werden die Funktionswerte.
Spezielle Grenzwerte

Nicht immer sind die Ausdrücke bei der Limesbildung eindeutig. Z.B. sagt nichts aus.
Solche Ausdrücke heißen "unbestimmte Ausdrücke".

Man berechnet Grenzwerte in denen ein unbestimmter Ausdruck vorkommt mit der Regel von L’Hospital.
Grenzwert mit l'Hospital bestimmen


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