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Polynomdivision

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie funktioniert eine Polynomdivison?


Wie faktorisiere ich einen Term höheren Grades?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Um die Polynomdivision zu verstehen, sollte man das Problem rückwärts betrachten.

Gehen man von dem Term (x-1)(x+2)(x+1) aus,

so wird dieser für x1=1,x2=-2 und x3=-1 null (einfach einsetzen).
Der Termin ist also bereits faktorisiert.

Die Aufgabe wird allerdings so gestellt, dass der Term ausmultipliziert angegeben wird:

Faktorisiere den Term x3+2x2-x-2

Erster Schritt: Eine Lösung raten

Wir beginnen bei einfacheren Aufgaben immer mit 1,-1,2,-2,... und setzen diese Zahlen nacheinander in den Term ein, bis dieser null wird.

In diesem Beispiel greift gleich die 1.

Zweiter Schritt: Durch den Linearfaktor teilen

Wir wissen, dass der Term die Lösung 1 hat.
Somit wissen wir, dass der Faktor (x-1) Teil des Term ist.
Man kann also den Term auch so schreiben: (x-1)(2. Faktor) =x3+2x2-x-2

Es ist nun zu bestimmen wie der 2. Faktor aussieht. Dazu teilt man durch den Linearfaktor der gefundenen Lösung.

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Übrig bleibt der Faktor x2+3x+2.

Somit wissen wir nun: (x-1)(x2+3x+2)=x3+2x2-x-2

Da x2-3x-2 ein quadratischer Term ist, brauchen wir für ihn keine Polynomdivision mehr.

Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta kann man diesen Term leicht zerlegen.

x1,2=3±-32-41221=-3±12

x1=-1,x2=-2

Somit lässt sich der Ausdruck x2+3x+2 auch faktorisiert schreiben:
x2+3x+2=(x+1)(x+2)

Damit wäre unser Ausgangsterm faktorisiert:

x3+2x2-x-2=(x-1)(x2+3x+2)=(x-1)(x+1)(x+2)




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