Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ableitung und Nullstellen

Ableitung und Nullstellen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Mathematicus aktiv_icon

22:36 Uhr, 29.11.2014

Hallo,
ich bräuchte Eure Hilfe bei folgendem Beispiel:

Angabe:
Sei f:

ℝ \to ℝ

von der Art

f (x) = \prod_{i = 1}^{n} (x - α_{i})

mit

α_{1} < α_{2} < . . . < α_{n}

. Wieviele Nullstellen hat die Ableitung

f ʹ

?

Durch die Ableitung verringert sich der Grad des Polynoms, sodass dieser jetzt nur mehr (n-1) ist und das Polynom hat höchstens (n-1) reelle (oder) komplexe Nullstellen.
Was mir jetzt nicht einleuchtend klar ist, müssen die Ableitung eines Polynoms, welches nur reelle Nullstellen hat, auch reell sein.

Ich habe in meinen Vorlesungsmitschriften nachgelesen, aber bis jetzt noch nichts gefunden das mir weiterhelfen könnte.
Gibt es irgendeinen Satz aus der Mathematik der mein Problem löst?

Danke und LG,
Mathematicus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

23:54 Uhr, 29.11.2014

Wenn ich das recht interpretiere, suchst du nach einem Beweis, der besagt, dass bei einer Polynomfunktion vom Grad n mit n rellen Nullstellen die Ableitung (n-1)ausschliesslich reelle Nullstellen besitzt.

Eine hochinteressante Frage !

Ich habe mal etwas getüftelt und bin der Meinung, dass das zutrifft, könnte es aber nur bis zu Polynomen 5. Grades beweisen, wobei ich bisher nur Grad 2 und 3 ausgeführt habe. Die höheren Grade erfordern unsäglich viel Zeit, wobei ich auch nicht gerade ein Beweisefachmann bin, also gehe ich mal davon aus, dass effizientere Methoden existieren, als die von mir begonnene.

Mathematicus aktiv_icon

00:00 Uhr, 30.11.2014

Danke schonmal,
vielleicht hat ja noch jemand eine Idee?

LG

Sams83 aktiv_icon

10:56 Uhr, 30.11.2014

Hallo,

weiß nicht ob das irgendwie hilft, aber man kann auf Deine Funktion ja Produktregel anwenden. Die Ableitung jedes einzelnen Deiner Faktoren ist ja gleich

1,

insofern bleiben jeweils die anderen Faktoren stehen. In jedem Summand fehlt dann ein anderer Faktor.

Also

f (x) = (x - α_{1}) (x - α_{2}) ... (x - α_{n})

f' (x) = 1 \cdot (x - α_{2}) ... (x - α_{n}) + (x - α_{1}) \cdot 1 \cdot (x - α_{3}) \cdot ... (x - α_{n}) + .

+ (x - α_{1}) ... (x - α_{n - 1}) \cdot 1

= \sum_{i = 1}^{n} \prod_{k = 1; k \neq i}^{n} (x - α_{i})

Wie gesagt weiß ich nicht ob das hilft, was sicher ist, ist dass keiner der vorherigen Nullstellen als jetzige Nullstelle auftauchen, da kein Faktor in allen Summanden steckt da Deine

α_{i}

ja alle verschieden sind und je ein Faktor fehlt...

anonymous

11:06 Uhr, 30.11.2014

In jedem Intervall

] a_{i}, a_{i + 1} [

ist eine Nullstelle der Ableitung nach Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1202021

1201999

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?