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Abschätzen von Potenzen

Universität / Fachhochschule

Tags: Potenz, Schätzen

agricola7 aktiv_icon

14:14 Uhr, 10.06.2019

Hallo,

ich habe nur eine kleine allgemeine Frage zu einem Problem.

Es gibt insgesammt

1000

Lose dh.

A = {1,2,3, ...,1000}

. jetzt betrachten wir für jedes

n 0 1,2, . .

. die Menge

A_{n}

jener Zahlen

k \in A

die sich als n-te Potenz

k = a^{n}

einer hat. Zahl a darstellen lassen. So ist

z . B

A_{1} = A

und

A_{2} = {1,4,9 ...}

Jetzt wird mit wachsendem

n

die Anzahl

| A_{n} |

immer kleiner und ich soll mit gegebenen Hilfswerten die Anzahlen für

n = 1, . .,10

berechnen.

Hilfe:

6^{4} = 36^{2} > 1000 > 6^{3}

5^{4} = 25^{2} < 1000 < 5^{5}

4^{5} = 2^{10} = 1024 > 1000

3^{6} = 81 \cdot 9 < 1000 < 3^{7}

ich soll die Anzahlen für

n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Für

1,2,3,4,5,10,6

ist mir das schon klar aber für

7,8,9

?

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

anonymous

14:45 Uhr, 10.06.2019

Hallo
Darf ich erstmal in meine Worte fassen, was ich glaube, aus deinem Kauderwelsch verstehen und erahnen zu dürfen.

Du hast die Menge A

A = {1; 2; 3; ...; 1000}

d . h

. die Menge der natürlichen Zahlen bis

1000

.
(Wir nehmen hier mal die natürlichen Zahlen ohne die Null.)

Jetzt sollst du untersuchen, wie viele dieser Zahlen ganzzahlige Potenzen

n

sind.

Also für das Beispiel: Potenz

n = 2 :

1^{2} = 1

2^{2} = 4

3^{2} = 9

4^{2} = 16

. .

31^{2} = 961

D . h

. für die Potenz

n = 2

gibt es

31

Zahlen, die Quadrate (Potenz

n = 2)

sind.

Habe ich die Aufgabe so richtig verstanden?

Falls ja:
"ich soll die Anzahlen für

n = 1; 2; 3; ...;

10" - vermutlich berechnen.

"Für

1; 2; 3; 4; 5; 10; 6

ist mir das schon klar"
Du hast eine seltsame Weise, aufzuzählen. Aber schön, dass was klar ist.

"...aber für 7?"
Na ja, nehmen wir doch das schöne Beispiel

n = 7 :

1^{7} = 1

2^{7} = 128

3^{7} = 2187 -

upps, das passt nicht mehr in die Menge A bis zu höchstens

1000

.
Folglich gibt es nur 2 der Zahlen aus

A,

die sich als 7.te Potenzen darstellen lassen.

War das wirklich schwer?
Ich glaube, das ist nicht wirklich schwer. Schwer scheint es nur zu fallen, sich in dem Kauderwelsch ein wenig Überblick zu schaffen, was man eigentlich will...

agricola7 aktiv_icon

17:54 Uhr, 10.06.2019

Hallo,

Danke für deine Antwort!

Ich dachte, dass es hier vielleicht einen Trick gibt wie man da bisschen effizienter arbeiten könnte. Da es sich hier um eine Teilaufgabe aus einer Altprüfung handelt. Taschenrechner steht mir dabei nicht zur verfügung. Da diese Teilaufgabe von der ich da spreche gerade mal

\frac{1}{16}

der ganzen Prüfung ist, wär es meiner Meinung nach sehr fragwürdig wie ein Idiot durch endloses rechnen bzw. verrechnen Zeit zu verscheißen.

Aber wahrscheinlich bin ich einfach zu langsam.

LG

anonymous

13:07 Uhr, 11.06.2019

Hallo
"...wie ein Idiot durch endloses (R)echnen

. .

. Zeit zu verscheißen."

Na ja, das Prinzip ist doch schnell erkannt.
Bei

n = 1

musst du überhaupt nicht rechnen - nur verstehen.

Bei

n = 2

erkennst du doch sehr schnell

1^{2} = 1

2^{2} = 4

. .

.
Hier suchst du doch die Zahl, die mit sich selbst multipliziert das Ergebnis

1000

ergibt.
Das ist doch der klassischer Fall für die Wurzel.
Wer da
"...wie ein Idiot durch endloses (R)echnen

. .

. Zeit" - mit Verlaub - "verscheißt",
der ist selber schuld.

Bei

n = 3

erkennst du doch sehr schnell

1^{3} = 1

2^{3} = 8

3^{3} = 27

. .

.
Hier suchst du doch die Zahl, die mit 3 potenziert das Ergebnis

1000

ergibt.
Das ist doch der klassische Fall für die 3.te Wurzel.

Allgemein, für die n-te Potenz suchst du die n-te Wurzel aus

1000

.

Schon ab

n = 7

sind es gerade mal noch 2 Lösungen,

d . h

. spätestens bei der dritten Kontrollrechnung hast du erkannt, dass du über dem Zielkorridor

1000

draußen bist.

Ich schätze die ganze Aufgabe auf ca.

2 - 3

Minuten Lösungszeit.
Wenn man da eben länger braucht, dann liegt's vermutlich an mangelndem Verständnis...

HAL9000

14:04 Uhr, 11.06.2019

> Ich schätze die ganze Aufgabe auf ca. 2-3 Minuten Lösungszeit.

Das gilt wohl nur für Leute, deren Kopfrechen- und Überschlagsfähigkeiten noch nicht restlos verkümmert sind. Die gibt es sicher in jeder Generation, aber heute wohl mangels Training deutlich weniger als früher in den Generationen von 11engleich bzw. mir. :-)

Heute sind dagegen die Protestfähigkeiten besser ausgebildet, wie jüngst erfolgreich beim Hamburger Matheabi.

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