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Abschätzung von Pi
Universität / Fachhochschule
Tags: eingeschrieben, Quadrat, Sonstig, umbeschrieben, Viereck
 
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Betrachten Sie die unten angegebene Skizze. Die Zahl gibt das Verhältnis von Umfang und Radius bzw. Durchmesser eines Kreises an. Zeigen Sie, dass gilt! Die Skizze zeigt ein eingeschriebenes und umbeschriebenes Quadrat. Ich weiß noch nicht wie mir die Skizze dabei helfen soll. Der Durchmesser des Kreises scheint gleich groß wie die Seitenlänge des umbeschriebenen Quadrats zu sein. Ich weiß aber nicht wie mir das eingeschriebene Quadrat helfen soll und wie ich es generell zeigen soll. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Skizze als jpg-Datei hochladen. Das funktioniert immer. |
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Kann mir schon denken, wie die Skizze aussieht. Mach eine Umfang-Betrachtung, laut der gilt: Umfang einbeschriebenes Quadrat < Umfang Kreis < Umfang umschriebenes Quadrat |
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Skizze als jpg-Datei hochladen. Das funktioniert immer. Na ja, "immer" ist vielleicht zu viel gesagt. Ist die Datei größer als kB, dann klappt es sicher nicht und ob diese Forensoftware tatsächlich alle JPEG Spezifikationen unterstützt wissen wir ja nicht. Die Frage gibts mehrmals hier im Forum, weil die Fragestellerin zu bequem war, selbst zu tippen und copy & paste am Zeichen für gescheitert ist. www.onlinemathe.de/forum/Abschaetzung-von-Pi-2 |
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Das jpg-Format hat bisher immer funktioniert. Es ist meiner Erfahrung nach das datenärmste Format von denen Formaten die hier möglich sind. Es sollte nun wirklich nicht so kompliziert sein so eine Datei hier hochzuladen. Keine Ahnung warum der OP das nicht schafft. |
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Keine Ahnung warum der OP das nicht schafft. Wenn man beharrlich nur copy & paste versucht anstatt sich ein wenig mit dem Forum und seinen Eigenheiten auseinanderzusetzen, dann ist das Scheitern vorprogrammiert. Wir können uns ja trotzdem vorstellen, wie die Zeichnung aussieht (siehe Anhang) und erste Schritte zur Lösung dieser Aufgabe, die sich da ins Uni-Forum verirrt hat, habe ich ja schon im anderen Thread gegeben www.onlinemathe.de/forum/Abschaetzung-von-Pi-2 Die Fragestellerin ist aber vorerst abgetaucht .  |
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Ich korrigiere meinen obigen Vorschlag: Für den linken Teil , welcher aus folgt, bleibt es bei Umfang einbeschriebenes Quadrat < Umfang Kreis welches aus dem Prinzip folgt "die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte". Für den rechten Teil greift eher die Begründung Fläche Kreis < Fläche umschriebenes Quadrat . Denn die Argumentation "Umfang Kreis < Umfang umschriebenes Quadrat" steht eher auf wackligen Füßen. ;-) P.S.: Das ganze kann man übrigens als Spezialfall der für alle gültigen Doppelungleichung sehen, deren Beweis ebenfalls nach ähnlichen Prinzipien erfolgen kann wie oben skizziert. |
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Denn die Argumentation "Umfang Kreis Umfang umschriebenes Quadrat" steht eher auf wackligen Füßen. ;-) Ja, das könnte ich aus dem Stand jetzt auch nicht so leicht stichhaltig begründen. Geht man aber nur von der Definition von als Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser aus, ist die Abschätzung über die Flächen auch nicht ganz unproblematisch, weil die Formel für die Kreisfläche ja noch nicht zur Verfügung steht . Das ganze kann man übrigens als Spezialfall x=π4 der für alle x∈(0,π2) gültigen Doppelungleichung sehen, Die dann ja gerne zur Bestimmung von herangezogen wird. Aber auch da wird oft bei der geometrischen 'Herleitung' die Beziehung ohne nähere Begründung (außer "sieht man") der Zeichnung entnommen und es wird nicht begründet, warum die Abwicklung des Kreisbogens sicher kürzer als die Tangentenstrecke ist. Die gleiche Problematik besteht ja auch bei der näheren Eingrenzung des Werts von durch die Umfänge von ein- und umschriebenen 24-Ecken, etc., wie schon in Frühzeiten durchgeführt. Dabei wird immer als gegeben angenommen, dass der Umfang des umschriebenes n-Ecks selbstverständlich(!?) größer als der Kreisumfang ist. Eine einfache, schnelle Begründung dafür will mir jetzt aber auch nicht einfallen... |
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Nein, bei greift ja eben wieder das Flächenargument statt das über die Bogenlänge - eben darum habe ich diese Analogie hier ja auch angebracht: Fläche Einheitskreissektor < Fläche rechtwinkligs Dreieck mit Katheten 1 und tan(x) . |
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(versehentlicher Doppelpost - bitte löschen) |
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Ja, bei mag es sicher zulässig sein, die Formel für Kreis- und Kreissektor-Flächen als bekannt vorauszusetzen und somit damit sauber argumentieren zu können. Was ich aber meinte war, das genau dass sehr oft nicht getan wird. Da wird einfach die Zeichnung präsentiert, der man ja klar(?) entnehmen kann, dass der Bogen ist. Und wenn es um die Näherung von durch einge- und umschriebene n-Ecke geht, dann scheint es mir unangebracht, erst die Formel für die Kreisfläche herleiten zu müssen. Aber wie schon geschrieben will mir da unbefriedigenderweise auch keine einfache, elementare Begründung dafür einfallen, dass der Bogen kürzer als die Tangentenstrecke ist. Dass ein Kreis von allen flächengleichen Figuren jene mit dem kleinsten Umfang ist, darf man ja auch nicht als bekannt voraussetzen, denn damit wärs dann wieder einfach ;-) Archimedes soll ja mittels der Umfänge von ein- und umschriebenen n-Ecken auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt haben (da muss er es wohl bis zum 96-eck getrieben haben). Ich weiß aber nicht, ob überliefert ist, ob und wenn ja wie er begründet hat, dass das umschriebene n-Eck sicher einen größeren Umfang hat als der Kreis. Die Quellen zum Archimedes-Algorithmus, die mir bekannt sind, gehen alle wie selbstverständlich davon aus, dass die Umfänge der umschriebenen n-Ecke eine obere Grenze für darstellen. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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