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Allgemeiner Beweis der Irrationalität von Wurzel 2
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Primzahlen
Tags: Allgemein, Euklid, Primfaktorzerlegung, Primzahl, Sonstiges
 
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Ich soll beweisen unter Voraussetzung der eindeutigen Primfaktorzerlegung: sei n eine natürliche Zahl die kein Quadrat ist. Dann gibt es auch keine rationale Zahl x mit x²=n
Meint ihr dass es reicht wenn ich den Beweis von Wurzel 2 umschreibe und n statt 2 einsetze oder soll ich n als primfaktorzerlegung umschreiben? Und wenn ja wie wird es denn allgemein aussehen?
Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo Anna, das hängt jetzt sehr davon ab, wie der Beweis für geführt worden ist. Verwendet er explizit eine Primfaktorzerlegung von oder taucht als Argument auf, dass das Quadrat von geraden Zahlen wieder gerade, das von ungeraden Zahlen ungerade ist? Im letzteren Fall geht das natürlich nicht, den Beweis umzuschreiben. Im ersteren schon. Mfg Michael |
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Also wir haben mit dem letzteren gearbeitet. Na gut... wie mach ich es aber mittels Primfaktorzerlegung? Also allgem. für x²=n |
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Hallo Anna, zuerst eine Feststellung: Wenn eine Quadratzahl ist, dann und nur dann kommt JEDER Primfaktor der Primfaktorzerlegung gradzahlig oft vor. Das kannst du leicht an Beispielen nachprüfen, ein Beweis ist aber auch nicht schwierig. Sein nun KEINE Quadratzahl, d.h. es gibt einen Primfaktor in der PFZ (Primfaktorzerlegung) von , der NICHT gradzahlig oft vorkommt. Annahme: : Dann gilt: Jeder Primfaktor der Zahl kommt gradzahlig oft vor, da eine Quadratzahl ist, dasselbe gilt für . Da nun aber keine Quadratzahl ist, kommt nach Voraussetzung der Primfaktor in ungeradzahlig oft vor, ebenso ungeradzahlig oft in . In kommt aber geradzahlig oft vor. Da gilt, kommt also der Primfaktor in sowohl geradzahlig oft als auch ungeradzahlig oft vor. Das kann aber nicht gehen, da die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, es also nicht gleichzeitig gerad- und ungeradzahlig oft geben kann. Mfg Michael |
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Grundsätzlich verstehe ich das aber wie sollte ich auf die erste Feststellung kommen? Das habe ich zum Beispiel nicht gewusst |
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