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Annäherung der Funktion

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Gebrochenrationale Funktionen

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen

davechristopher aktiv_icon

13:45 Uhr, 17.10.2011

Hallo zusammen,

könnt Ihr mir vll. bei folgenden Sachverhalt helfen?

Geg:

\frac{x^{2} - 2}{{(x + 2)}^{2}}

Frage: Zeigen Sie, dass der Graph die Gerade

y = 1

als horizontale
Asymptote besitzt und dass er sich dieser für

x

→

+

∞ von unten nähert.

Durch die Bildung des Grenzwertes gegen

\frac{+}{-}

Unendlich, weiß ich dass es eine horziontale Aysmptote bei

y = + 1

gibt.

Aber wie kann ich einfach und plausibel erklären, dass die Funktion sich dabei für x->+∞ von unten an die Asymptote nähert?! Wie soll ich da vorgehen?

Ich freue mich auf sämtliche Antworten.

Vielen Dank!
Dave

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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funke_61 aktiv_icon

14:02 Uhr, 17.10.2011

Durch die doppelte Nullstelle im Nenner weisst Du schon, dass Du an der Stelle

x = - 2

eine Senkrechte Asymtote hast. Wenn Du den Grenzwert an dieser Stelle

x = 2

(von links und von rechts her) bestimmst, erkennst Du, dass

f (x)

bei

x = - 2

nach

+ \infty

geht:

lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2}{{(x + 2)}^{2}} = + \infty

Eine Möglichkeit wäre nun, den Tiefpunkt bei

T (- 1 | - 1)

zu finden. Dazu die Funktion Ableiten, 1. Ableitung nullsetzen und mit geeigneten Mitteln prüfen, ob es wirklich ein Tiefpunkt ist.

Wenn Du sicher bist, dass es nur diesen Tiefpunkt gibt und keinen anderen Extremwert mehr, dann ist klar, dass sich

f (x)

nur noch von unten an die wagrechte Asysmtote nähern kann, denn sonst müsste zwischen

- 1

und

\infty

noch ein Hochpunkt liegen.

Sams83 aktiv_icon

14:05 Uhr, 17.10.2011

Hallo,

ganz praktisch überlegt, im Zähler steht: x²-2, und im Nenner x²+4x+4
Der Nenner wird also immer größer als der Zähler sein, das Verhältnis von Zähler zu Nenner also immer kleiner 1. Für unendlich große

x

verlieren die hinteren Terme an Bedeutung, Zähler und Nenner werden gleich groß, und der Grenzwert ist

1,

nähert sich aber von unten, da für konkret eingesetzte

x

der Zähler immer ein wenig kleiner als der Nenner sein wird.

Könnte man es rein rechnerisch nicht auch so zeigen, dass man die Ableitung der Gesamtfunktion bildet? Diese beschreibt ja die Steigung der Funktion. Für

x

gegen

+ \infty

ist der Grenzwert

0^{+},

die Steigung ist also 0 (daher auch waagrechte Asymptote), die Ableitungsfunktion nähert sich der 0 "von oben". Bei der Funktion selber handelt es sich also um eine steigende Funktion (Ableitung immer knapp größer 0 für große

x)

. Die Funktion nähert sich also der Asymptote

x = 1

von unten.

Klar oder weitere Fragen?

larsen aktiv_icon

14:08 Uhr, 17.10.2011

oder so:

zeige noch, dass fuer "große"

x

gilt, dass

f (x) < 1

f (x) = 1 - \frac{4 x + 6}{{(x + 2)}^{2}}

(polynomdivision).
es gilt

\frac{4 x + 6}{{(x + 2)}^{2}} > 0

fuer

x > - \frac{3}{2} \Rightarrow f (x) < 1

fuer

x \in (- 3, \infty)

davechristopher aktiv_icon

14:40 Uhr, 17.10.2011

@Sams83 Deine antwort gefällt mir schon sehr gut! Mir ist jedoch noch nicht ganz klar warum sich der Graf von unten nähert wenn der nenner - gering - größer ist als der zähler. Welche Begründung gibt es dafür?

@larsen Das ist denke ich mathematisch gesehen die eleganteste Lösung. Mir ist aber so gut wie jeder Teilschritt unklar. In wie fern beschreibt deine aufgestellte Funktion, dass die Funktion sich von unten nähern muss?

Sams83 aktiv_icon

15:14 Uhr, 17.10.2011

Ganz einfach:
Ist der Nenner gering größer als der Zähler, ist der Quotient immer knapp kleiner als 1. Die Funktion nähert sich also von unten.
Im Übrigen zeigt Larsen mit seiner Rechnung genau das, dass nämlich der Qutient immer kleiner 1 ist für große

x

larsen aktiv_icon

15:15 Uhr, 17.10.2011

gegeben ist die funktion

f (x) = \frac{x^{2} - 2}{{(x + 2)}^{2}}

nun hast du schon (wie auch immer) herausgefunden, dass

y = 1

waagerechte asymptote ist.

die funktion ist eine unechtgebrochene rationale funktion, denn der grad des zaehler- und des nennerpolynoms sind beide 2. fuehrt man die polynomdivision durch, erhaelt man einen ganzrationalen anteil und einen echtgebrochenen anteil. der ganzrationale anteil ("1") stellt hierbei die waagerechte asymptote dar. um die polynomdivision auszufuehren, habe ich die binomische formel im nenner aufgeloest:

f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 4 x + 4}

jetzt machst du polynomdivision. da erhaelst du 1 und den rest

- 4 x - 6

.
damit laesst sich die funktion

f

auch darstellen als:

f (x) = 1 - \frac{4 x + 6}{{(x + 2)}^{2}}

wenn sich die funktion fuer

x \to \infty

"von unten" an die waagerechte asymptote

y = 1

annaehert, dann muss das heißen, dass die funktion fuer "große"

x

immer kleiner als 1 ist. also frage ich mich, ob und fuer welche

x

der ausdruck

1 - \frac{4 x + 6}{{(x + 2)}^{2}}

kleiner als 1 ist. nun, da der minuend dieser differenz "1" ist, muss man schauen, wann der subtrahend

\frac{4 x + 6}{{(x + 2)}^{2}} > 0

ist(, damit die differenz

< 1

wird). und dies ist genau dann der fall, wenn der zaehler des subtrahenden

> 0

ist (da der nenner eh immer positiv ist). also: wann ist

4 x + 6 > 0 \Rightarrow

fuer

x > - \frac{3}{2}

ist dies der fall.

also hab ich gezeigt, dass

f (x)

fuer "große"

x -

naemlich fuer alle

x > - \frac{3}{2},

kleiner 1 ist - also immer unter der waagerechten asymptote

y = 1

verlaeuft. folglich ist gezeigt, dass sie sich "von unten" an die asymptote naehert.

davechristopher aktiv_icon

15:19 Uhr, 17.10.2011

Danke euch! Habe es kappiert! :-)

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