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Anordnung
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Rationale Zahlen
 
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hallo, folgende Aufgabe soll gelöst werden: Aufgabe: Entscheiden sie, on die Menge eine Anordnung im Sinne der Definition (siehe Link) induziert. http//www.onlinemathe.de/forum/Anordnung-2 ok, hier muss jetzt als erstes die Trichotomie gezeigt werden und genau ein Fall davon muss zutreffen. Es ist wohl so, dass hier nur der eine Fall gelten kann: weil laut Definiton in der Vorlesung. Ist damit die Trichotomie abgehakt? Ich tue mir damit noch etwas schwer. LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Spammer, Trichotomie ist doch gegeben. Die multiplikative Abgeschlossenheit geht in die Grütze. Gruß ermanus |
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@ermanus Jo das meinte ich, durch den Fall, den ich genannt habe ist die Trichotomie gegeben stimmts? |
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Hallo Spammer, in der Tat ist Trichotomie für das hier vorliegende P gegeben. Korrekt bewiesen hast du das aber noch nicht. Gegeben ein beliebig vorgegebenes ist zu zeigen, dass genau einer der drei Fälle , bzw. vorliegt. Wenn ich dich richtig verstehe, argumentierst du wie folgt: Wenn etwa die Gestalt für ganze Zahlen und hat, gilt , also liegt mindestens einer der drei Fälle vor (nämlich der Fall ). Dann wäre noch zu zeigen, dass auch höchstens einer der drei Fälle vorliegt. Aber viel entscheidender: Innerhalb der Argumentation ist im Allgemeinen falsch. und sind in dieser Argumentation ganze Zahlen und müssen keine natürlichen Zahlen sein. Gemäß Definition von P muss sich, wenn gelten soll, jedoch in der Form mit NATÜRLICHEN Zahlen und darstellen lassen. Verständnisfrage: Gilt ? Gilt ? Der Nachweis der Trichotomie für das vorliegende P ist sicherlich eine gute Übung. Auf der anderen Seite wirst du diesen Nachweis für die Lösung der Aufgabe am Ende nicht benötigen (siehe die Antwort von ermanus). Viele Grüße Tobias |
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@tobit jo, so wollte ich argumentieren. PS: Ich kann mir das mit der Teilmenge bisher nicht so ganz vorstellen. Die Vorstellung ist, damit die rationalen Zahlen zu ordnen zu können, wenn Zähler und Nenner aus natürlichen Zahlen bestehen? |
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Mir ist nicht ganz klar, wie dein P.S. gemeint ist: Geht es um die in dieser Aufgabe vorliegende Menge P, also um eine bessere Vorstellung, welche rationalen Zahlen in diesem P liegen? Oder geht es um das generelle Konzept, durch eine Menge P eine Anordnung zu erhalten? Auf alle Fälle liefert jede Teilmenge mit Trichotomie und Abgeschlossenheit unter Addition und Multiplikation eine Anordnung ALLER rationalen Zahlen. (Übrigens kann man sich überlegen, dass es im Falle der rationalen Zahlen nur eine einzige Teilmenge mit Trichotomie und Abgeschlossenheit unter Addition und Multiplikation gibt, nämlich die aus der Vorlesung bekannte. Das Konzept ist dann interessanter, wenn man anstelle von auch andere sogenannte "Körper" betrachtet.) |
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@tobit sowohl für diese Aufgabe, als auch generell kann ich mir diese Anordnung schwer vorstellen. Wie genau schreibt mn die Trichotomie-Prüfung für diese Aufgabe auf? LG |
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Hallo Spammer, warum nimmst Du Dir nicht ein her. Dann weißt Du doch, dass Du annehmen kannst: und . Und für hast Du doch dann 3 Möglichkeiten: . Ist nun , dann ist für ein , also ist dann , also . Der Fall ist halt der 0-Fall. Im Falle ist , also . Damit ist die Trichotomie gezeigt. |
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@ermanus: Danke! Aus meiner Sicht zeigst du korrekt, dass gegeben mindestens einer der drei Fälle vorliegt. Noch zu zeigen wäre, dass auch höchstens einer der drei Fälle vorliegt. @Spammer: Das "herkömmliche" P aus der Vorlesung würde ich in erster Linie als Hilfsmittel sehen, die herkömmliche Anordnung der rationalen Zahlen, wie du sie aus der Schule kennst, formal zu definieren. Dieses P enthält genau die "im herkömmlichen Sinne positiven" rationalen Zahlen. Daher ist es sinnvoll, dieses P zur Definition heranzuziehen, für welche rationalen Zahlen x gelten soll , nämlich genau für die Zahlen . Eher abstrakt ist dagegen die Frage, ob andere Teilmengen ähnliche Eigenschaften haben. Das in dieser Aufgabe vorliegende ist gerade die Menge der im "herkömmlichen" (d.h. aus der Schule bekannten) Sinne negativen rationalen Zahlen. |
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Sorry, gelöscht. |
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@tobit ok, also enthält nur positive rationale Zahlen, aber wieso ist dann ? das leuchtet mir nicht ein, da das doch eine negative rationale Zahl ist oder nicht? @ermanus Jo, ich denke wenn alle negativen rationalen Zahlen enthält und alle positiven rationalen Zahlen, gibt es kein Element, dass in beiden Mengen gleichzeitig liegt. Also ist leere Menge |
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Ich habe in meiner vorherigen Antwort zwischen dem P aus der Vorlesung (das genau die im herkömmlichen Sinne POSITIVEN rationalen Zahlen enthält) und dem P aus dieser Aufgabe (das genau die im herkömmlichen Sinne NEGATIVEN rationalen Zahlen enthält) unterschieden. Du hast Recht, dass (im herkömmlichen Sinne) negativ ist, wenn a und b natürliche Zahlen sind. (Für Mitleser: Bei Spammer zählt die 0 nicht als natürliche Zahl.) |
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Hallo Spammer, wenn man so ein hat, dann nennt man die Elemente von positiv, hat man ein anderes mit guten Eigenschaften gefunden, nennt man die Elemente eben jenes positiv. Was "positiv" heißen soll, wird durch Vorgabe des (Positivitätsbereichs) erst festgelegt. Es können bei so einem also ganz andere Zahlen "plötzlich" positiv heißen als die gewohnten positiven Zahlen. In unserem Beispiel wären gerade die üblichen negativen Zahlen die "positiven" Zahlen bzgl. , wenn sich bzgl. seiner Eigenschaften als anständig erweisen würde, was ja nicht der Fall ist, da nicht multiplikativ abgeschlossen ist. |
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@tobit und ermanus ok so langsam wird es etwas klarer... Das heißt die Teilmenge in dieser Aufgabe hier enthält wegen alle negativen rationalen Zahlen. Die Abgeschlossenheit der Multilikation ist nicht gegeben, da . eine positive rationale Zahl ergeben würde, die nicht in ist? |
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Jawoll! |
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dann könnte man doch die Antwort in einem Satz fassen: induziert keine Anordnung im Sinne von Definition....., da es keine Abgeschlossenheit bei der Multiplikation gibt, wegen und für alle . kann man das so als Antwort hinschreiben? |
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Gut, dass du anschaulich nun besser klarkommst! :-) Den Anfang deines Satzes halte ich für perfekt, mit dem Ende deines Satzes bin ich nicht so ganz zufrieden, auch wenn die wesentliche Idee sich herauslesen lässt. Dass die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation für das vorliegende P verletzt ist, bedeutet: Es gibt rationale Zahlen mit . Gib zum Nachweis also am besten konkrete Zahlen mit an, z.B. und . (Offenbar gilt dann . Aber warum gilt auch ? Anschaulich wirst du wahrscheinlich antworten: Weil nicht negativ ist. Diese Anschauung ist an sich korrekt, sollte aber idealerweise durch einen formalen Beweis untermauert werden. Aus meiner Sicht ist genau genommen sauber zu begründen, dass gilt und dass gilt, d.h. dass es keine natürlichen Zahlen a und b gibt mit . Angenommen es gibt doch solche natürlichen Zahlen a und b (ich führe also einen Widerspruchsbeweis). Dann gilt , also b=-a und somit . Die Zahl ist aber als Summe zweier natürlicher Zahlen eine natürliche Zahl. Also folgt der Widerspruch .) |
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@tobit ok danke für deine gute Hilfe. Ich hoffe du kannst mir auch künftig so gut weiter helfen! :-) LG |
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Danke für die freundlichen Worte. :-) Macht mir Freude, mit dir zu arbeiten, insbesondere weil du dran bleibst! |
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