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Anwendungsaufgabe - Extremwert - Pipeline

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Extrema berechnen, Kosten berechnen, Minimum, Pythagoras, Strahlensatz

Lele21 aktiv_icon

19:23 Uhr, 22.01.2013

Hey erstmal :-)
Ich komm mit der Aufgabe leider gar nicht mehr weiter

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Wär lieb wenn mir jemand helfen könnte

\frac{:}{}

Danke im Vorraus!
Von einer direkt am Meer gelegenen Raffinerie

R

soll eine Pipeline zur Bohrinsel

B

verlegt werden. Jeder Kilometer an Land kostet

200.000

Euro und jeder Kilometer im Wasser

400.000

Euro. Die Bohrinsel ist 5km vom Strand entfernt.

R

hat die Entferung 10km von der Stelle

S

am Strand, die der Bohrinsel am nächsten liegt.

An welcher Stelle

T

sollte die Pipeline ins Wasser übergehen, damit die Verlegungskosten minimal werden?

Dann soll ich eben noch eine Funktion zur Beschreibung der Kosten in Abhängigkeit von x=RT(Strecke) aufstellen.

Hab mir gedacht dass eventuell etwas mit

K (x) = 200.000 \cdot x + 400.000 \cdot \sqrt{{(10 - x)}^{2} + 5^{2}}

Als Hinweis hab ich bekommen die Strahlensätze zu verwenden.. aber ich weiß nicht wie

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Strahlensatz und Ähnlichkeit

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

19:37 Uhr, 22.01.2013

Ist ok. Jetzt ableiten.

Lele21 aktiv_icon

19:53 Uhr, 22.01.2013

Ehm okay und dann ?

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Eva88 aktiv_icon

19:54 Uhr, 22.01.2013

Ableitung

= 0

setzen und

x

ausrechnen.

Lele21 aktiv_icon

19:55 Uhr, 22.01.2013

Ich komm mit der Ableitung gerade überhaupt nicht klar

\frac{:}{}

kannst du mir irgendwie helfen?

Lele21 aktiv_icon

20:01 Uhr, 22.01.2013

Achja, ich brauch die Rechnung nicht per Hand, ich kann doch dann eig auch die Ableitung sobald ich sie irgendwie hab:/ in den GTR eingeben und dann das Minimum bestimmen.

Eva88 aktiv_icon

20:09 Uhr, 22.01.2013

k (x) = 200000 x + 400000 \cdot \sqrt{100 - 20 x + x^{2} + 25}

Die Geldeinheit

200.000

wandel ich in

0,2

Millionen um, sonst werden die Zahlen so groß.Ebenso die

400000

0,2 x + \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{x^{2} - 20 x + 125}

0,2 x + \sqrt{0,16 x^{2} - 3,2 x + 20}

0,2 x + {(0,16 x^{2} - 3,2 x + 20)}^{\frac{1}{2}}

jetzt ableiten

Atlantik aktiv_icon

20:18 Uhr, 22.01.2013

K (x) = 200.000 \cdot x + 400.000 \cdot \sqrt{{(10 - x)}^{2} + 5^{2}}

K (x) = 200.000 \cdot x + 400.000 \cdot \sqrt{125 - 20 x + x^{2}}

K

(x) = 200000 + 400000 \cdot \frac{2 x - 20}{2 \cdot \sqrt{125 - 20 x + x^{2}}} = 200000 + 400000 \cdot \frac{x - 10}{\sqrt{125 - 20 x + x^{2}}}

200000 + 400000 \cdot \frac{x - 10}{\sqrt{125 - 20 x + x^{2}}} = 0 | : 200000

1 + 2 \cdot \frac{x - 10}{\sqrt{125 - 20 x + x^{2}}} = 0

1 + \frac{2 \cdot x - 20}{\sqrt{125 - 20 x + x^{2}}} = 0 | \cdot \sqrt{125 - 20 x + x^{2}}

\sqrt{125 - 20 x + x^{2}} + 2 x - 20 = 0

\sqrt{125 - 20 x + x^{2}} = 20 - 2 x

125 - 20 x + x^{2} = {(20 - 2 x)}^{2} = 400 - 80 x + 4 x^{2}

. .

.

mfG

Atlantik

Lele21 aktiv_icon

20:29 Uhr, 22.01.2013

und was hat es mit den Strahlensätzen auf sich?

Wie gehe ich nun vor? kann mir jemand die ganzen SChritte erklären?

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und als Lösung für das Minimum habe ich

7,11

von meinem Lehrer gesagt bekommen.

Eva88 aktiv_icon

20:36 Uhr, 22.01.2013

Brauchen wir nicht, sehe auch nicht wie ich den nutzen könnte.

Lele21 aktiv_icon

20:42 Uhr, 22.01.2013

Kann mir bitte jemand den gesamten Lösungsweg schildern? ich kommen überhaupt nicht mehr klar, bin grad so am verzweifeln

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ich brauche die Lösungen am Donnerstag und weiß nicht wie ich das schaffen soll, ich verstehs nicht und die Zahlen sind so doof

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In meiner Skizze erkennt man die strecke von

T

B

und diese hab ich mit dem Pythagoras berechnet wie man in meinem ersten Ansatz der Funktion sieht. Kann man diese Strecke auch irgendwie mit einem Strahlensatz machen? ich weiß nicht mehr weiter

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prodomo aktiv_icon

21:01 Uhr, 23.01.2013

Du hast völlig richtig angefangen und dich nur aus dem Takt bbringen lassen, weil du die Ableitung nicht gefunden hast. Strahlensatz ist ausgesprochener Quatsch, der passt hier gar nicht, vermutlich meinte er Pythagoras.
Der Einfachheit halber rechne ich in

100.000

Euro Scheinen, dann kostet der Landweg 2 pro km und der Wasserweg 4. Also

K (x) = 2 \cdot x + 4 \cdot \sqrt{{(10 - x)}^{2} + 25} = 2 \cdot x + 4 \cdot {(x^{2} - 20 \cdot x + 125)}^{0,5}

. Daraus folgt ganz normal

K' (x) = 2 + 4 \cdot {(x^{2} - 20 \cdot x + 125)}^{- 0,5} \cdot (2 \cdot x - 20)

. Diesen Term auf den Hauptnenner

{(x^{2} - 20 \cdot x + 125)}^{0,5}

bringen, ergibt

\frac{2 \cdot {(x^{2} - 20 \cdot x + 125)}^{0,5} + 4 \cdot x + 40}{{(x^{2} - 20 \cdot x + 125)}^{0,5}}

. Der Bruch ist

0,

wenn der Zähler 0 ist, also

{(x^{2} - 20 \cdot x + 125)}^{0,5} + 2 \cdot x - 20 = 0

oder

{(x^{2} - 20 \cdot x + 125)}^{0,5} = 20 - 2 \cdot x

. Beide Seiten quadrieren gibt

x^{2} - 20 \cdot x + 125) = 400 - 80 \cdot x + 4 \cdot x^{2}

. Auf die Normalform bringen:

x^{2} - 20 \cdot x + \frac{275}{3} = 0

. Jetzt pq-Formel:

x_{1,2} = 10 \pm \sqrt{\frac{25}{3}}

. Da

x \leq 10

sein muss, geht nur die zweite Lösung, das sind ungefähr

7,11

.
Na siehste, et jeht doch !

Atlantik aktiv_icon

07:48 Uhr, 24.01.2013

Den Weg der Ableitung habe ich dir schon da aufgeschrieben:

20 : 18

Uhr,

22.01.2013

mfG

Atlantik

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