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Anzahl der Nullstellen periodischer Funktionen
Universität / Fachhochschule
Tags: Nullstellenmenge, periodische Funktion, Wellen
 
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Hallo Freunde ich habe vor mir liegend eine Reihe komplizierter periodischer Funktionen (periodisch komplizierte Wellen). Kennt jemand eine Methode, wie man bei solchen Funktionen in einem angegebenen Bereich "0<x<xmax" die Anzahl der Nullstellen errechnen könnte - also nicht die Nullstellen selbst sondern nur die Anzahl? Auch hinweis auch andere Bereiche der Physik wo solch ein Problem vorkommt wäre interessant. Danke Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) | |
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So einfach lässt sich die Frage nicht beantworten, da es keinen allgemeingültigen Algrithmus gibt, jedenfalls kenne ich keinen. Ich versuche es anhand eines Beispiels: Zunächst rechne ich eine Nullstelle aus: Im Bogenmaß wären das . x=PI, x=2PI die Nullstellen wiederholen sich also im Abstand von PI. Hast Du jetzt ein Intervall von . 0...2PI, dann gibt es drei Nullstellen. Dabei reicht es nicht zu sagen, ich rechne 2PI/PI=2, da zwei Nullstellen direkt am Rand des (geschlossenen) Intervalls liegen, sind es insgesamt drei. Weiteres Beispiel wäre aus der Physik: . Hier wiederholen sich die Nullstellen mit der Periolde T*PI. Auch hier würde ich zwei oder drei Nullstellen ausrechnen und mir überlegen, welche dann in dem entsprechenden Intervall liegen. Die Nullstellen liegen dann bei n*T*PI, wobei ganzzahlig ist. |
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Ja. Ich bin sogar so weit gekommen dass für mancher dieser Funktionen über die Fourier Transformation die Frequenzen berechnet habe und bei manchen weniger komplizierten lassen sich die Frequenzen dann in Perioden umwandeln, ähnlich wie du bei deiner Basis -Funktion vorschlägst, woraufhin die Nullstellen innerhalb der Doppelten Periode verteilt sind (alle Funktionen sind and y-Achse spiegelnd). Die Methode funktioniert aber für nur ein paar der Funktionen, danach kann ich keinen Zusammenhang zwischen den Frequenzen aus der Fourier Transformation und die Verpackung der Nullstellen erkennen. Hat jemand eine Idee? |
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Auf die Idee bin ich noch nicht gekommen, das mit Hilfe der Fourier-Transformations zu machen, zumal die Fourer-Transformation auch auf nicht periodische Funktionen angewendet wird. Für periodische Funktionen gibt es ja den Spezialfall der Fourier-Reihe, die man hier anwenden könnte, um herauszufinden, welche Frequenzen in der periodischen Funktion enthalten sind. Daraus die Nullstellen abzulesen stelle ich mir sehr schwer vor, besonders, wenn die Fourier-Reihe unendlich ist. |
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anonymous 13:07 Uhr, 27.03.2013 |
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Hallo Empassionate Du müsstest uns schon noch genauer sagen, was das Problem ist. Prinzipiell ist (bei hoch-frequenten Signalen) die Anzahl der Nullstellen doch die Anzahl der Nullstellen pro Periode multipliziert mit der Anzahl Perioden. Dies gilt natürlich nur, wenn es dir auf 1 oder zwei oder 3 Nullstellen mehr oder weniger nicht drauf ankommt. Wenn es dir aber drauf ankommt, ob die ein oder andere Nullstelle am Rand gerade noch innerhalb des betrachteten Intervalls x_max liegt, oder eben außerhalb, dann müssten wir weiter überlegen... Oder ein anderes Problem könnte sein, dass du dir nicht recht im klaren bist, ob die ein oder andere Stelle im Funktionsverlauf nun eine Nullstelle ist oder nicht. Zur Erläuterung habe ich mal eine Skizze mit einem beispielhaften Funktionsverlauf gemacht. Es könnte deine Unsicherheit sein, dass du nicht recht weißt, ob zB. im Bereich "A" die Funktion gar nicht recht die Nulllinie berührt Nullstellen zB. im Bereich "B" die Funktion die Nulllinie gerade berührt Nullstelle zB. im Bereich "C" die Funktion die Nulllinie überschreitet Nullstellen. Wenn das dein Problem ist, dann ACHTUNG mit Fourier-Approximationen! Die Fourier-Approximation hat nicht unbedingt die gleiche Anzahl an Nullstellen, wie die Original-Funktion.  |
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Hallo Cube Sofern ich bei der Welle eine Periode für einen wiederkehrenden Muster erkennen kann ja, dann funktioniert deine Regel Anzahl Periode mal Anzahl Nullstellen per Periode(allerdings habe ich keinen Weg um diese Periode zu berechnen außer mein Auge). Das Problem ist dass bei Superpositionen höherer Ordnung keine periodische Muster mehr zu erkennen sind. Vermutlich wird die Verteilung der Nullstellen chaotisch und die Welle aperiodisch. Im Anhang zwei Beispiele: eine zu 1 und eine zu 2. Ein Problem ist auch dass ich selbst bei 1 keinen Weg finde die Periode der wiederkehrenden Muster mathematisch zu berechnen, selbst wenn die Welle sichtbar periodisch ist - wie bei 1. Also die Perioden-Regel wie du sie beschreibst funktioniert nur begrenzt. Was mich wundert ist, dass bestimmt andere auch auf solch ein Problem gestoßen sind, auch wenn keine Lösung, aber ich finde keine Information. Physiker? Es kommt mir nicht darauf an alle Nullstellen zu packetieren, da du fragst, also eine Abschätzung miteinem verbleibenden Korrekturglied ist durchaus akzeptabel. Auch ein Randproblem ist nicht in Erwägung zu ziehen. Wäre dankbar für jede Hilfe oder Idee   |
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Hallo Numerologica, danke die Methode mit Fourier funktioniert nur sehr sehr begrenzt. Mit der Transformation lasse ich eignetlich nur per Knopfdruck die Frequenzen ausgeben die als Dirac ausgegeben werde, also eine reine praktische Sache sonst nichts besonderes. Gruss |
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anonymous 21:20 Uhr, 27.03.2013 |
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Hallo nochmals Also, so recht verständlich ist dein Problem noch nicht. Ich meine, es wäre gut, wenn du zuerst nochmals dir selbst genauer klar machst, was dich verunsichert. Und dann ggf. hier nochmals genauer das Problem beschreibst. 1. Eingangs betonst du, es handle sich um periodische Wellen. Dann wiederum ziehst du die Periodizität in Zweifel. Was denn nun? Periodisch oder nicht? 2. Du sagst, du willst die Nullstellen zählen. Nun denn, auf geht's. ZB. in deiner ersten Grafik (mit der symmetrischen Funktion) zähle ich Nullstellen (wenn ich mich nicht verzählt habe). Du hast noch nicht zu verstehen gegeben, was dich daran hindert, die Nullstellen zu zählen. 3. Wenn dich die reine Arbeit stört, weil es einfach zu viele Nullstellen sind, nun denn, dann könnte man evtl. ein Programm schreiben, das dir die Arbeit abnimmt. Aber ich vermute mal, das trifft noch nicht den Kern dessen, was du hier beantwortet haben willst. 4. Wenn die Funktion "chaotisch und aperiodisch" ist, dann denke ich spontan an statistische Möglichkeiten. Also: nimm eine geeignete Stichprobe, zähle die Nullstellen in der Stichprobe, rechne von der Stichprobe auf die Gesamtheit hoch. Kurz gesagt, ich - und vermutlich noch eine ganze Menge anderer Leser - verstehe dein Problem noch nicht so ganz. Und vermutlich wird man dir erst recht helfen können, wenn es dir gelingt, dein Problem genauer zu umreißen und verständlich zu machen. |
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Hallo - Danke für deine Mail. zu deinen Punkten: 1. Eingangs betonst du, es handle sich um periodische Wellen. Dann wiederum ziehst du die Periodizität in Zweifel. Was denn nun? Periodisch oder nicht? //Ich hatte in der Zwischenzeit weitere Funktionen höherer Ordnung erhlaten die nicht periodisch sind. Also während unserer Konversation hier hat sich alles erweitert. 2. Du sagst, du willst die Nullstellen zählen. Nun denn, auf geht's. ZB. in deiner ersten Grafik (mit der symmetrischen Funktion) zähle ich Nullstellen (wenn ich mich nicht verzählt habe). Du hast noch nicht zu verstehen gegeben, was dich daran hindert, die Nullstellen zu zählen. Ich kann natürlich mit dem Auge die Nullstellen zählen, darum geht es aber nicht. Es geht darum eine analytische Methode zu finden diese direkt zu erhalten/abzuschätzen. Die Grafiken sind numerische Plots und lassen nicht zu die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen. Wenn die Komplexität der Wellen durch Superposition weiterer Wellen steigt, kann ich nicht mehr die Grafiken erstellen und auch nicht die Nullstellen selbst bestimmen da mein Computer schon versagt. Das ist der Hintergrund warum ich nach einer analytischen Methode suche die Anzahl abzuschätzen ohne die Nullstellen selbst auszurechnen. 3. Wenn dich die reine Arbeit stört, weil es einfach zu viele Nullstellen sind, nun denn, dann könnte man evtl. ein Programm schreiben, das dir die Arbeit abnimmt. Aber ich vermute mal, das trifft noch nicht den Kern dessen, was du hier beantwortet haben willst. . außerdem können die Anzahl der Nullstellen in einem Bereich über tausende sein. 4. Wenn die Funktion "chaotisch und aperiodisch" ist, dann denke ich spontan an statistische Möglichkeiten. Also: nimm eine geeignete Stichprobe, zähle die Nullstellen in der Stichprobe, rechne von der Stichprobe auf die Gesamtheit hoch. Habe ich versucht. Das wird nicht gehen da in diesem Fall wirklich "Chaos" herrscht: Die Nullstellen verteilen sich wie Random obwohl sie Deterministisch bestimmt sind. Wenn man also nur die Nullstellen hätte ohne die Wellen ist das wie ein Random Walk. Kurz gesagt, ich - und vermutlich noch eine ganze Menge anderer Leser - verstehe dein Problem noch nicht so ganz. Und vermutlich wird man dir erst recht helfen können, wenn es dir gelingt, dein Problem genauer zu umreißen und verständlich zu machen. Ich denke es gibt auch keine Lösung außer wirklich die Nullstellen mit hohem nummerischen Aufwand zu bestimmen und dann abzuzählen. Danke für die Diskussion das hat eine Menge geholfen |
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Hallo - Danke für deine Mail. zu deinen Punkten: 1. Eingangs betonst du, es handle sich um periodische Wellen. Dann wiederum ziehst du die Periodizität in Zweifel. Was denn nun? Periodisch oder nicht? //Ich hatte in der Zwischenzeit weitere Funktionen höherer Ordnung erhlaten die nicht periodisch sind. Also während unserer Konversation hier hat sich alles erweitert. 2. Du sagst, du willst die Nullstellen zählen. Nun denn, auf geht's. ZB. in deiner ersten Grafik (mit der symmetrischen Funktion) zähle ich Nullstellen (wenn ich mich nicht verzählt habe). Du hast noch nicht zu verstehen gegeben, was dich daran hindert, die Nullstellen zu zählen. Ich kann natürlich mit dem Auge die Nullstellen zählen, darum geht es aber nicht. Es geht darum eine analytische Methode zu finden diese direkt zu erhalten/abzuschätzen. Die Grafiken sind numerische Plots und lassen nicht zu die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen. Wenn die Komplexität der Wellen durch Superposition weiterer Wellen steigt, kann ich nicht mehr die Grafiken erstellen und auch nicht die Nullstellen selbst bestimmen da mein Computer schon versagt. Das ist der Hintergrund warum ich nach einer analytischen Methode suche die Anzahl abzuschätzen ohne die Nullstellen selbst auszurechnen. 3. Wenn dich die reine Arbeit stört, weil es einfach zu viele Nullstellen sind, nun denn, dann könnte man evtl. ein Programm schreiben, das dir die Arbeit abnimmt. Aber ich vermute mal, das trifft noch nicht den Kern dessen, was du hier beantwortet haben willst. . außerdem können die Anzahl der Nullstellen in einem Bereich über tausende sein. 4. Wenn die Funktion "chaotisch und aperiodisch" ist, dann denke ich spontan an statistische Möglichkeiten. Also: nimm eine geeignete Stichprobe, zähle die Nullstellen in der Stichprobe, rechne von der Stichprobe auf die Gesamtheit hoch. Habe ich versucht. Das wird nicht gehen da in diesem Fall wirklich "Chaos" herrscht: Die Nullstellen verteilen sich wie Random obwohl sie Deterministisch bestimmt sind. Wenn man also nur die Nullstellen hätte ohne die Wellen ist das wie ein Random Walk. Kurz gesagt, ich - und vermutlich noch eine ganze Menge anderer Leser - verstehe dein Problem noch nicht so ganz. Und vermutlich wird man dir erst recht helfen können, wenn es dir gelingt, dein Problem genauer zu umreißen und verständlich zu machen. Ich denke es gibt auch keine Lösung außer wirklich die Nullstellen mit hohem nummerischen Aufwand zu bestimmen und dann abzuzählen. Danke für die Diskussion das hat eine Menge geholfen |
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Hallo - Danke für deine Mail. zu deinen Punkten: 1. Eingangs betonst du, es handle sich um periodische Wellen. Dann wiederum ziehst du die Periodizität in Zweifel. Was denn nun? Periodisch oder nicht? //Ich hatte in der Zwischenzeit weitere Funktionen höherer Ordnung erhlaten die nicht periodisch sind. Also während unserer Konversation hier hat sich alles erweitert. 2. Du sagst, du willst die Nullstellen zählen. Nun denn, auf geht's. ZB. in deiner ersten Grafik (mit der symmetrischen Funktion) zähle ich Nullstellen (wenn ich mich nicht verzählt habe). Du hast noch nicht zu verstehen gegeben, was dich daran hindert, die Nullstellen zu zählen. Ich kann natürlich mit dem Auge die Nullstellen zählen, darum geht es aber nicht. Es geht darum eine analytische Methode zu finden diese direkt zu erhalten/abzuschätzen. Die Grafiken sind numerische Plots und lassen nicht zu die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen. Wenn die Komplexität der Wellen durch Superposition weiterer Wellen steigt, kann ich nicht mehr die Grafiken erstellen und auch nicht die Nullstellen selbst bestimmen da mein Computer schon versagt. Das ist der Hintergrund warum ich nach einer analytischen Methode suche die Anzahl abzuschätzen ohne die Nullstellen selbst auszurechnen. 3. Wenn dich die reine Arbeit stört, weil es einfach zu viele Nullstellen sind, nun denn, dann könnte man evtl. ein Programm schreiben, das dir die Arbeit abnimmt. Aber ich vermute mal, das trifft noch nicht den Kern dessen, was du hier beantwortet haben willst. . außerdem können die Anzahl der Nullstellen in einem Bereich über tausende sein. 4. Wenn die Funktion "chaotisch und aperiodisch" ist, dann denke ich spontan an statistische Möglichkeiten. Also: nimm eine geeignete Stichprobe, zähle die Nullstellen in der Stichprobe, rechne von der Stichprobe auf die Gesamtheit hoch. Habe ich versucht. Das wird nicht gehen da in diesem Fall wirklich "Chaos" herrscht: Die Nullstellen verteilen sich wie Random obwohl sie Deterministisch bestimmt sind. Wenn man also nur die Nullstellen hätte ohne die Wellen ist das wie ein Random Walk. Kurz gesagt, ich - und vermutlich noch eine ganze Menge anderer Leser - verstehe dein Problem noch nicht so ganz. Und vermutlich wird man dir erst recht helfen können, wenn es dir gelingt, dein Problem genauer zu umreißen und verständlich zu machen. Ich denke es gibt auch keine Lösung außer wirklich die Nullstellen mit hohem nummerischen Aufwand zu bestimmen und dann abzuzählen. Danke für die Diskussion das hat eine Menge geholfen |
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