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Anzahl Q-Homomorphismen bestimmen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

anonymous

15:47 Uhr, 22.01.2020

Hallo,
im Anhang befindet sich eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann..
Das Problem liegt wahrscheinlich schon darin, dass ich nicht wirklich weiß, was die Abbildungen bedeuten ?

Für mich ist ein Q-Homomorphismus, ein Körperhomomorphismus (weil

Q

ein Körper ist) und demnach gelten übliche Regeln wie das die 1 auf die 1 geschickt wird oder das man zunächst in der Ausgangsmenge zwei Polynome addieren kann und diese dann abbildet oder man bildet die Polynome erst ab und summiert dann das Bild...

Man sagte mir, dass man das irgendwie über das Minimalpolynom löst..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

18:22 Uhr, 22.01.2020

Hallo,

bei einem Körperhomomorphismus muss

1 \mapsto 1

gelten, was zu mehreren Konsequenzen führt:
* Da

ℚ

von dem Element 1 erzeugt wird, gilt für jeden Körperhomomorphimus zwischen Körpern der Charakteristik 0, dass

ℚ

elementweise festgelassen wird.
* Jeder Körperhomomorphimus ist injektiv.

Ein

K

-Homomorphismus ist für jeden Körper

K

ein Körperhomomorphismus, der

K

elementweise festlässt.

Eine Sache musst du für die Lösung der Aufgabe irgendwo mal nachlesen:
Wenn

φ : ℚ \to K

ein

ℚ

-Homomorphismus ist, dann kann man den Homomorphimus "ausdehnen" oder "abheben" zu einem Homomorphismus

\overline{φ} : ℚ [x] \to K [x]

der zugehörigen Polynomringe.
1. Wie macht man diese "Anhebung"?
2. Was ist dann

\overline{φ} (x^{3} - 2)

?

Mfg Michael

anonymous

16:20 Uhr, 23.01.2020

Vielen vielen Dank für deine Antwort !
Bis jetzt habe ich mich nämlich immer gefragt, warum wir einen Körperhomomorphismus mit der Bedingung

1 \to 1

definiert haben.. das ist jetzt schon einmal klar..

Jedoch weiß ich nicht genau was du mit "ausdehnen" oder "anheben" meinst, aber ich hänge einmal an, was wir dazu in der Vorlesung hatten...

anonymous

16:38 Uhr, 23.01.2020

Kannst du vielleicht einmal ein

Q

Homomorphismus angeben ?
Damit man sich besser vorstellen kann, wie

Q

elementenweise festgehalten wird ?

michaL aktiv_icon

20:48 Uhr, 23.01.2020

Hallo,

> Jedoch weiß ich nicht genau was du mit "ausdehnen" oder "anheben" meinst, aber ich hänge einmal an, was
> wir dazu in der Vorlesung hatten...

Dazu aus dem Text:
: Ein Körperhomomorphismus

φ : L \to F

induziert einen Ringhomomorphimus
:

φ_{*} : L [x] \to F [x]; \sum_{k} a_{k} x^{k} \mapsto \sum_{k} φ (a_{k}) x^{k}

Das beantwortet 1.

Gehen wir auf deine spezielle Situation in (i) ein: Da ist

L = F = ℚ [^{3} \sqrt{2}]

.

Der Körperhomomorphismus

φ : ℚ [^{3} \sqrt{2}] \to ℚ [^{3} \sqrt{2}]

ist auf jeden Fall ein

ℚ

-Homomorphismus (da

ℚ

der Primkörper ist, also der kleinste aus 1 bestehende Körper, der in

ℚ [^{3} \sqrt{2}]

enthalten ist und ja

1 \mapsto 1

gelten muss).

Der Körper

ℚ [^{3} \sqrt{2}]

kann als

ℚ

-Vektorraum aufgefasst werden. (Mache dir klar, warum!)
Es ist unbedingt notwendig, eine Basis dieses Vektorraums anzugeben.
Denn: Ein Homomorphismus

φ : ℚ [^{3} \sqrt{2}] \to ℚ [^{3} \sqrt{2}]

ist insbesondere ein Vektorraumhomomorphismus (mit noch zusätzlichen Eigenschaften), der ja schon durch die Angabe der Bilder eindeutig festgelegt ist.
Wie ist es hier?
Welche Dimension hat

ℚ [^{3} \sqrt{2}]

über

ℚ

?
Was wäre eine geeignete Basis?

> Kannst du vielleicht einmal ein Q Homomorphismus angeben ?
> Damit man sich besser vorstellen kann, wie Q elementenweise festgehalten wird ?

Nun, die zu erarbeiten, sind wir ja dabei. Störe dich nicht an der Formulierung elementweise festlassen. Aus

φ (ℚ) = ℚ

würde nicht automatisch folgen, dass

φ (x) = x \forall x \in ℚ

gilt.
So erledigt

φ (x) := - x

zwar

φ (ℚ) = ℚ

, aber eben (abgesehen von Null) nicht elementweise.

Mfg Michael

anonymous

09:22 Uhr, 24.01.2020

Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Nun

[

Q(dritte Wurzel

2) : Q]

ist gleich

3,

denn das MiPo ist

x^{3} - 2

.

also wird es ja auch drei Basisvektoren geben..

(1,0,0) (0,1,0)

(0,0,dritte Wurzel

2)

ermanus aktiv_icon

09:40 Uhr, 24.01.2020

Hallo,
in deinem Thread
www.onlinemathe.de/forum/Anzahl-von-Homomorphismen
hattest du doch schon fast eine Basis gefunden.
Also

1, \sqrt[3]{2}, ?

Wenn du meine dortige letzte Frage bearbeitet hättest, wäre "

?

" klargeworden ...
Gruß ermanus

anonymous

11:10 Uhr, 24.01.2020

Nein das kann man nicht darstellen aus 1 und dritte Wurzel

2,

denn wir dürfen die Basisvektoren ja nur mit Zahlen aus

Q

multiplizieren...
Ich weiß nur nicht, wohin das ganze führen soll? Also ich sehe noch so keine Verbindung zu der Vorlesung…

Brauchen wir überhaupt die Basisvektoren ? Ich weiß ja schon so welchen Grad wir haben durch das MiPo..

ermanus aktiv_icon

11:59 Uhr, 24.01.2020

OK. Dann ist also

1, \sqrt[3]{2}, (\sqrt[3]{2})^{2}

eine Basis von

K

über

ℚ

.
Um die Aufgabe lösen zu können, braucht man nicht unbedingt die Kenntnis
einer Basis. Aber wenn man sich eine Vorstellung von

K

machen will,
ist das sicher nützlich.
Nun möchte ich aber nicht Michael "seinen" Thread rauben ;-)
sollte er aber in den nächsten 2 Stunden nichts von sich hören lassen,
könnte ich einspringen.

michaL aktiv_icon

15:32 Uhr, 24.01.2020

Hallo,

ich finde, dass die die Kenntnis einer gescheiten Basis schon sinnvoll ist.
Immerhin haben wir jetzt eine (wirklich geeignete):

{1, \sqrt[3]{2}, {(\sqrt[3]{2})}^{2}}

Wenn wir jetzt von Körperhomomorphismen reden wollen, dann rufen wir uns in Erinnerung, dass die insbesondere auch Vektorraumhomomorphismen sind.
Und von denen wissen wir, dass sie durch Bilder auf einer Basis (hoppla, doch eine Basis) festgelegt sind.

Ok, nennen wir "einen" solchen Homomorphismus mal

φ

.
Wir wissen, dass

φ (1) = 1

gelten muss. (Sonst wäre es kein Körperhomomorphismus!)
Worauf bilden wir nun

\sqrt[3]{2}

ab?

Klar, wir könnten

φ (\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}

definieren.
Dann würde auch

φ ({(\sqrt[3]{2})}^{2}) = {(\sqrt[3]{2})}^{2}

gelten und damit wäre

φ

die Identität auf

ℚ [\sqrt[3]{2}]

.

Was aber, wenn wir nicht die Identität haben wollen?
Worauf können wir

\sqrt[3]{2}

eigentlich alles abbilden (, ohne dass

φ

seine Eigenschaft als Körperhomomorphismus verliert)?

Mfg Michael

anonymous

14:38 Uhr, 29.01.2020

Hallo,
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie man

φ

noch definieren könnte...
Vielleicht

φ (x) = x^{2}

. So würde

φ (1) = 1

bleiben...

Ich habe so lange nicht geantwortet, da ich aktuell noch andere Klausuren schreibe...

anonymous

16:02 Uhr, 29.01.2020

Ne das funktioniert doch nicht, weil die Abbildung dann nicht mehr linear wäre...
mmm..

michaL aktiv_icon

17:34 Uhr, 29.01.2020

Hallo,

> Ich habe so lange nicht geantwortet, da ich aktuell noch andere Klausuren schreibe...

Dafür auf jeden Fall schon mal viel Erfolg!

> Ich bin mir nicht ganz sicher, wie man φ noch definieren könnte...
> Vielleicht φ(x)=x2. So würde φ(1)=1 bleiben...
...
> Ne das funktioniert doch nicht, weil die Abbildung dann nicht mehr linear wäre...

Genau.
Es geht ja nur um die Frage, auf welches Element das Basiselement

\sqrt[3]{2}

abgebildet wird.

Wir nennen es mal

b

, d.h.

φ (\sqrt[3]{2}) = b

. Dann gilt doch

φ ((\sqrt[3]{2})^{2}) = b^{2}

und

φ ((\sqrt[3]{2})^{3}) = φ (2) = 2

einerseits und

φ ((\sqrt[3]{2})^{3}) = b^{3}

.
D.h.

b

ist Nullstelle des Polynoms

x^{3} - 2

, des Minimalpolynoms von

\sqrt[3]{2}

.

Das ist kein Zufall.
Damit kann auch nur

b = \sqrt[3]{2}

gelten, da dies die einzige Nullstelle von

x^{3} - 2

im Körper

ℚ [\sqrt[3]{2}]

ist.
Damit ist

φ

also automatisch die Identität auf

ℚ [\sqrt[3]{2}]

, d.h. - um (i) zu beantworten: Es gibt nur einen

ℚ

-Homomorphismus von

ℚ [\sqrt[3]{2}] \to ℚ [\sqrt[3]{2}]

.

Anders sieht die Sache in (ii) aus, da es in

ℂ

mehr als eine Nullstelle von

x^{3} - 2

gibt. tatsächlich gibt es 3:

b = \sqrt[3]{2}

und

c_{1; 2} := - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm \frac{\sqrt[6]{108}}{4} i

.

Dann kann man auch statt

b \mapsto b

etwa

b \mapsto c_{1}

oder

b \mapsto c_{2}

realisieren (mehr aber nicht). Es gibt also insgesamt 3 solche Homomorphismen

ℚ [\sqrt[3]{2}] \to ℂ

.

Die Antwort auf die Frage (ii) ist meiner Meinung nach die gleiche wie bei (ii).
Es geht darum zu überlegen, warum?!

Mfg Michael

anonymous

12:00 Uhr, 31.01.2020

Oh man... ich verstehe es einfach immer noch nicht...

Das einzige was jetzt irgendwie klar ist, dass man sich das MiPo anschaut und dann überlegt welche Nullstellen in der Startmenge sind und welcher der Nullstellen in der Zielmenge liegen... Aber der Sinn dahinter und aus der abstrakten Beschreibung im Skript werde ich nicht schlau...

Kannst du vielleicht noch einmal probieren das Ganze zu erklären ?

michaL aktiv_icon

12:52 Uhr, 31.01.2020

Hallo,

ok:

Fakt 1:
Erweiterungskörper

L : K

sind (auch) Vektorräume über dem Grundkörper (hier

K

).

Beispiel:

L := ℚ [\sqrt[3]{2}]

K = ℚ

.
Also ist

L

(auch) ein

K

-Vektorraum.

Fakt 2:
Als

K

-Vektorraum hat

L

eine Basis.

Im Beispiel: Etwa

B := {1, \sqrt[3]{2}, {(\sqrt[3]{2})}^{2}}

.
Es ist kein Zufall, dass die Anzahl der Basiselemente

L

, die Dimension von

L

, der Grad des Minimalpolynoms von

x^{3} - 2

und der Grad der Körpererweiterung gleich sind. (Aber das erläutere ich jetzt nicht, das sind Grundlagen aus der Linearen Algebra.)

Fakt 3:
Ist

φ

ein

K

-Automorphismus von

L

, gilt also

φ (1) = 1

, so muss bildet

φ

Elemente

a \in L \ K

wieder auf Nullstellen von

μ_{a; K}

ab, also auf Nullstellen des Minimalpolynoms.

Im Beispiel: Wegen

{(φ (\sqrt[3]{2}))}^{3} = φ ({(\sqrt[3]{2})}^{3}) = φ (2) = 2

, erfüllt auch

φ (\sqrt[3]{2})

die Gleichung

x^{3} - 2 = 0

, d.h. ein

K

-Automorphismus muss(!) Nullstellen von Minimalpolynomen wieder auf Nullstellen des gleichen Minimalpolynoms abbilden.
Davon sind in

L

(!) aber nicht viele vorhanden. Genauer:

\sqrt[3]{2}

ist die einzige Nullstelle von

μ_{\sqrt[3]{2}; ℚ}

.

Daraus folgt, dass auch

\sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2}

gelten für JEDEN

K

-Automorphismus von

L

. Insbesondere muss auch

{(\sqrt[3]{2})}^{2} \mapsto {(\sqrt[3]{2})}^{2}

, womit es also nur einen einzigen

K

-Automorphismus von

L

geben kann:

{id}_{L}

Warum? Nun, insbesondere ist

L

ja ein

K

-Vektorraum uns jeder

K

-Automorphismus von

L

ist insbesondere auch ein

K

-Vektorraumautomorphismus.
Die sind aber durch die Bilder einer Basis festgelegt (Lineare Algebra). Und genau das haben wir hier herausgefunden, dass

1 \mapsto 1

(weil

1 \in K

und

K

festgelassen wird) und

\sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2}

(wegen Nullstellen müssen auf Nullstellen abgebildet werden) und

{(\sqrt[3]{2})}^{2} \mapsto {(\sqrt[3]{2})}^{2}

(weil der Automorphismus eben auch Produkte erhält).

Ist damit der grundsätzliche Ablauf geklärt?

Mfg Michael

John-P aktiv_icon

18:49 Uhr, 31.01.2020

Hallo. Habe mir gerade diesen Thread durchgelesen und der hat mir sehr weitergeholfen. Vielen Dank an alle Beteilligten. Eine Frage ist jedoch noch aufgetaucht.

Die Basis von

ℚ

[

\sqrt{[} 3] 2

] muss drei Elemente haben. Das ist mir jetzt klar. Aber warum ist das dritte Element

(\sqrt{[} 3] 2)^{2}

Und: Heißt das

ℚ

[

\sqrt{[} 3] 2

] = {a+b

\sqrt{[} 3] 2

(\sqrt{[} 3] 2)^{2}

} mit a,b,c sind rationale Zahlen?

michaL aktiv_icon

20:57 Uhr, 31.01.2020

Hallo,

> Aber warum ist das dritte Element ([√3]2)2

Im "Experten-Modus" kodiere ich das durch $\root{3}{2}^2$.

Das müsste nicht

{\sqrt[3]{2}}^{2} = \sqrt[3]{4}

sein. Es könnte auch z.b.

1 + \sqrt[3]{2}

sein oder dergleichen.

Wichtig ist nur, dass es im Körper

ℚ [\sqrt[3]{2}]

auch Potenzen von

\sqrt[3]{2}

geben muss. (Klar, in Körpern muss man multiplizieren dürfen, also auch mit sich selbst, was ja potenzieren bedeutet.)
Im

ℚ

-Vektorraum

{α + β \sqrt[3]{2} ∣ α, β \in ℚ}

ist eben

\sqrt[3]{4}

nicht enthalten, im Körper

ℚ [\sqrt[3]{2}]

schon.
Insofern brauchen wir noch ein Basiselement, das

\sqrt[3]{4}

irgendwie mit hineinbringt. Der Einfachheit halber am besten gleich

\sqrt[3]{4}

selbst.

> Heißt das ℚ[[√3]2] = {a+b[√3]2+c([√3]2)2} mit a,b,c sind rationale Zahlen?

Ja. (Müsste aber auch genau so in der Vorlesung besprochen worden sein...)

Mfg Michael

anonymous

14:14 Uhr, 01.02.2020

Da mir die Definition von K-Automorphismus nicht klar ist, verstehe ich Fakt 3 noch nicht so richtig. Warum muss

φ

Elemente

a e L

ohne

K

wieder auf die Nullstellen des MiPo's abbilden.

Die Abbildung hält

φ

hält als Automorphismus die Elemente aus

K

fest ?

michaL aktiv_icon

19:49 Uhr, 01.02.2020

Hallo,

ja, ein

K

-Automorphismus (von

L

) lässt alle Elemente von

K

fest.

Aber das müsste auch in deinen Auszeichnungen zu finden sein. Dir fehlen heftig die Grundlagen.

Sei mal

φ : L \to L

ein

K

-Automorphismus (

L : K

Körpererweiterung) und

α \in L \ K

algebraisch, d.h. das Minimalpolynom

μ_{α; K} (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

hat Koeffizienten

a_{i} \in K

.

Es gilt (wegen Minimalpolynom):

α^{n} + a_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + a_{1} α + a_{0} = 0

(

α

ist ja Nullstelle seines Minimalpolynoms.)

Dann gilt aber auch

φ (α)^{n} + a_{n - 1} φ (α)^{n - 1} + \dots + a_{1} φ (α) + a_{0} = φ (α^{n} + a_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + a_{1} α + a_{0}) = φ (0) = 0

, d.h.

φ (α)

ist wieder eine Nullstelle des Minimalpolynoms von

α

.

Heißt umgekehrt: Bildet man ein algebraisches Element nicht(!) auf eine Nullstelle seines Minimalpolynoms ab, dann kommt da KEIN (!)

K

-Homomorphismus bei heraus.

Mfg Michael

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