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Anzahl der Nullstellen einer Funktion bestimmen
Universität / Fachhochschule
Tags: Anzahl Nullstellen Funktion
 
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Liebes Forum, ich möchte folgende Aufgabe lösen: Wie viele reelle Nullstellen besitzt die Funktion → mit e^(xln2) − − 1? Ich habe den Tipp, dafür die erste und zweite Ableitung zu bilden. Zunächst einmal ist die Funktion mehrfach diffbar. Bei 0 und 1 liegen jeweils Nullstellen. Eine dritte Nullstelle gibt es ebenso laut Graph. Mein Problem ist, dass ich die Nullstellen der ersten Ableitung (e^(xln2) − nicht bestimmen und zeigen kann, dass es einen HP und einen TP gibt. Den Wendepunkt kann ich über die Nullstelle der zweiten Ableitung bestimmen, das ist kein Problem. Ich finde keinen richtigen strukturierten Ansatz, wie ich die Nullstellenzahl 3 nachweisen kann und bitte um Hilfe. Dank und herzliche Grüße Haseandreas PS e^(xln2) soll bedeuten hoch mal Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Dankeschön, ja das ist mir bekannt. Jedoch auch damit komme ich nicht weiter, es hakt irgendwie. |
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vgl: www.mathelounge.de/929643/wie-viele-reelle-nullstellen-besitzt-die-funktion-f-mit |
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Gemäß Satz von Rolle (Spezialfall des Mittelwertsatzes) liegt zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion mindestens eine Nullstelle der Ableitung. Besitzt somit eine differenzierbare Funktion Nullstellen, dann hat die Ableitung mindestens Nullstellen. Umgekehrt kann man daraus folgern, dass aus der Existenz von genau Nullstellen der Ableitung die Originalfunktion höchstens Nullstellen aufweisen kann. Im vorliegenden Fall hat die zweite Ableitung genau eine Nullstelle, damit die erste Ableitung höchstens zwei und die Originalfunktion höchstens drei Nullstellen. Dass sie tatsächlich auch genau Nullstellen hat, wurde im verlinkten Thread ausführlich dargelegt. |
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Oh, danke für den Link. Die Antwort ist mir zu oberflächlich. Kannst du mir bitte bei meiner Entwicklung meiner Argumentation noch unterstützend draufschauen? Dass und Nullstellen sind, kann man sozusagen "sehen". Dazwischen liegt mit dem Mittelwertsatz auf jeden Fall ein Extrempunkt. Wenn ich nun die Monotonie an den Stellen 0 und 1 mittels erster Ableitung prüfe, dann kann ich nachweisen, dass zwischen beiden Punkten ein HP liegt. Da die zweite Ableitung nur eine Nullstelle besitzt, ändert sich nur einmal das Krümmungsverhalten der Funktion. Und zwar rechts von von konkav nach konvex. Somit wird der Anstieg der Funktion zunehmen. Da es keinen weiteren Wendepunkt gibt, bleibt dann wachsend und führt über einen TP zu einer dritten Nullstelle. wie kann ich die letzten beiden Sätze mathematisch belastbar ausdrücken? Viele Grüße Haseandreas |
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Danke, lieb/er HAL. Ich kann den Satz leider nicht verwenden, da wir ihn in der VL nicht behandelt haben. Leider. |
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Könnt ihr mich bitte noch bei meiner Argumentation vorletzten Kommentar unterstützen? Danke und viele Grüße Haseandreas |
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Ihr habt nicht den Mittelwertsatz der Differentialrechnung behandelt? Eine beschämende Lücke. |
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Doch, natürlich. Aber nicht den Satz von Rolle. Ich kann deine Argumentation trotzdem aus dem MWS ableiten und damit gut argumentieren. Habe es jetzt verstanden und danke dir herzlich. Viele Grüße Haseandreas |
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Hallo, der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz sind äquivalent. Einerseits kannst du stattdessen den Mittelwertsatz verwenden mit der speziellen Variante . Andererseits ist leitet man den Mittelwertsatz gerne aus dem Satz von Rolle ab, wenn ich mich richtig erinnere. So, oder so, du darfst den Satz und vor allem auch die Argumentation sicher verwenden. Zumindest würde ich aber fragen, bevor ich die Argumentation einfach aufgrund des unbekannten Namens ablehnte. Mfg Michael Weblinks: [1] de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle#Aussage [2] de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung#Aussage_des_Mittelwertsatzes |
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Ganz lieben Dank an Euch und ein schönes Wochenende. LG, Haseandreas |
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Vielen Dank! |
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