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Asymptote von f(x)=(1-x^2)*e^x

Universität / Fachhochschule

Tags: Asymptote berechnen

andreadu aktiv_icon

13:46 Uhr, 23.08.2011

Hallo zusammen! leider ist bei mir das Berechnen von Asymptoten nicht mehr ganz präsent, nur noch von Brüchen würde ich das schaffen mit Polynomdivision.

Kann mir also jemand helfen, die Asymptote folgender Funktion zu berechnen?

f (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}

Vielen Dank und lieber Gruss, Andrea

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

funke_61 aktiv_icon

13:51 Uhr, 23.08.2011

Hallo,

zunächst musst Du untersuchen, ob

f (x)

Definitionslücken hat.
Definitionslücken würden auf senkrechete Asymptoten hindeuten.

Dann solltest Du untersuchen, wie das Verhalten von

f (x)

gegen

- \infty

und dann noch gegen

+ \infty

untersuchen.
Weisst Du wie das geht?

andreadu aktiv_icon

14:03 Uhr, 23.08.2011

vielen dank! Also, da

e^{0}

ja minus unendlich ist, denke ich, dass bei

x = 0

eine Definitionslücke ist. Ist dort in dem Fall eine senkrechte Asymptote?
für

- +

unendlich geht die Funktion nach unendlich, da

e^{x}

für x=unendlich ebenfalls unendlich ist.
Sind meine Überlegungen richtig?

funke_61 aktiv_icon

14:06 Uhr, 23.08.2011

leider liegst Du falsch.
Gib mal

e^{0}

in Deinen Taschenrechner ein ;-)
was sagt er?
Gegen

+ \infty

geht die E-Funktion

e^{x}

wirklich gegen

+ \infty

. das stimmt!
Aber gegen was geht

e^{x}

für

x \to - \infty

andreadu aktiv_icon

14:14 Uhr, 23.08.2011

Ach blöd,

e^{0}

gibt natürlich

1!

Ich habe es verwechselt mit

ln (0) . .

.

Also für e^-unendlich gibt es 0. aber was sagt mir das? Ich komm immer noch nicht drauf....

funke_61 aktiv_icon

14:17 Uhr, 23.08.2011

gut, jetzt stimmts :-)
Du hast ein Produkt aus

(1 - x^{2})

und

e^{x}

beide Terme haben keine Definitionslücken.
also?

andreadu aktiv_icon

14:22 Uhr, 23.08.2011

Also gibt es keine Asymptote?
Würde auch Sinn machen, denn ich habe mir den Graph auf meinem TR angeschaut und keine Asymptote gesehen. Was ist aber mit schrägen Asymptoten? Gibt es die nur bei Brüchen?

funke_61 aktiv_icon

14:30 Uhr, 23.08.2011

ok.
Zunächst: Es gibt keine senkrechte Asymptoten. Das ist richtig.

Schräge Asymptoten gibt es ja immer dann, wenn sich eine beliebige Funktion im Unendlichen an eine Gerade

(y = m x + b)

annähert.
Wenn Du es mit E-Funktionen zu tun hast, gibt es in der Regel keine schrägen Asymptoten. ( Es sei denn, es gäbe mehrere E-Funktionen im Funktionsterm, die sich "irgendwie gegenseitig aufheben" würden, was hier aber nicht der Fall ist.)

Aber Du hat doch gesehen, wie sich die ganze Funktion für

x \to - \infty

verhält: Sie nähert sich

x \to - \infty

der Null:

lim_{x \to - \infty} (1 - x^{2}) \cdot e^{x} = 0

Was heißt das zum Thema "Asymptote"?

andreadu aktiv_icon

14:36 Uhr, 23.08.2011

Also, ich habe jetzt nochmals auf Wikipedia den Artikel gelesen über Asymptoten.

Konvergiert

f

für

x

gegen

\infty

gegen eine reelle Zahl

h, d

h

. gilt

lim_{x \to \infty} f (x) = h,

dann nennt man die Gerade

y = h

eine waagerechte (oder horizontale) Asymptote von

f

. Analoges gilt für den Grenzwert

x \to - \infty

.

Hier trifft ja das zu. In dem Fall ist

x = 0

eine horizontale Asymptote? Ist dann egal, dass die Kurve

x = 0

später schneidet (Nullstellen bei

x = \pm 1)

funke_61 aktiv_icon

14:43 Uhr, 23.08.2011

Ja, Du meintest sicher:

y = 0

ist Asymptote von

f (x)

für

x \to - \infty

:-)

EDIT: Hier war ein dicker Fehler!

Dass

f (x)

diese Asymptote einmal oder mehrmals schneidet, spricht nicht gegen die Definition einer Asymptote. Das kommt auch bei gebrochen rationalen Funktionen vor, wenn Du mal tief in Deinen Erinnerungen wühlst ;-)

andreadu aktiv_icon

14:44 Uhr, 23.08.2011

Hmm, ja, irgendwo ist das noch da :-)

Vielen Dank für deine Hilfe!

funke_61 aktiv_icon

14:49 Uhr, 23.08.2011

gern geschehen :-)
Wichtig ist noch bei e-Funktionen, dass diese einfach viel stärker als jedes Polynom gegen unendlich gehen (bzw. wenn eine E-Funktion im Nenner wäre, würde diese E-Funktion den Funktionsterm viel stärker "gegen NULL ziehen", als alle rationalen Terme (aus irgendwelchen Polynomen zusammengesetzte Terme)
Das erkennt man übrigens ganz schön, wenn man sich die Reihenentwicklung einer E-Funktion ansieht)
;-)

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