Asymptote

Nähert sich der Graph einer Funktion einer Geraden immer mehr an, ohne sie zu schneiden, so wird diese Gerade Asymptote genannt.

Man unterscheidet zwischen senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten.

Die Gleichung der Asymptoten findet man bei komplexeren Funktionen durch Grenzwertuntersuchungen heraus.

Bei waagerechten und schiefen Asymptoten betrachtet man die äußeren Grenzen des Definitionsbereichs. Daher untersucht man die beiden Grenzwerte ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to +\infty }{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right) }$ und ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to -\infty }{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Bei senkrechten Asymptoten betrachtet man den Verlauf des Funktionsgraphen bei Definitionslücken. Daher untersucht man pro Definitionslücke ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ die beiden Grenzwerte ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0+\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right) }$ und ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0-\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{lim}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$



Beispiel für eine waagerechte Asymptote:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to +\infty }{lim}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\infty }$ und ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to -\infty }{lim}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0}$

Daher ist die x-Achse ${\displaystyle (\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0)}$ eine waagerechte Asymptote zum Graph der Funktion.



Der Graph der Funktion kommt der x-Achse für sehr kleine x-Werte immer näher, berührt sie aber nicht.



Beispiel für eine senkrechte Asymptote:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=ln\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0+\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{lim}ln\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\infty }$

(Da ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=]0;\infty [}$ muss nur ein Grenzwert betrachtet werden)

Daher ist die y-Achse ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0)}$ eine senkrechte Asymptote zum Graph der Funktion.



Der Graph der Funktion kommt der y-Achse für x-Werte nahe bei 0 immer näher, berührt sie aber nicht.



Beispiel für eine senkrechte und waagerechte Asymptote:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0+\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{lim}\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\infty }$ und ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0-\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{lim}\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-\infty }$

Daher ist die y-Achse ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0)}$ eine senkrechte Asymptote zum Graph der Funktion.



Der Graph der Funktion kommt der y-Achse für x-Werte nahe bei 0 immer näher, berührt sie aber nicht.

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to +\infty }{lim}\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0 }$ und ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to -\infty }{lim}\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0}$

Daher ist die x-Achse ${\displaystyle (\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0)}$ eine waagerechte Asymptote zum Graph der Funktion.



Der Graph der Funktion kommt der x-Achse für sehr große und sehr kleine x-Werte immer näher, berührt sie aber nicht.



Beispiel für schiefe Asymptote

Siehe hier.