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Berechnung einer schiefen Asymptote

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man eine schiefe Asymptote einer Funktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)
Vorgangsweise:

1) Polynomdivision mit Rest
2) Grenzwertbestimmung
  limx±f(x)

Beispiel

f(x)=x2-x+1x-1

Df=\{1}


Polynomdivision (oder Partialbruchzerlegung) ergibt:

x2-x+1x-1=x+1x-1


limx+x+1x-1=

limx-x+1x-1=-

Da der Term 1x-1 für sehr große und sehr kleine x-Werte gegen Null geht, bleibt nur x übrig.


Schiefe Asymptote:

g(x):=x

Annäherung des Graphen an die Asymptote:

Für x<1 gilt:   1x-1<0 Der Graph von f nähert sich der Asymptote von unten.

Für x>1 gilt:   1x-1>0 Der Graph von f nähert sich der Asymptote von oben.

Beispiel_1

Beispiel

f(x)=2x3+3x+93x2

Df=\{0}


Polynomdivision (oder Partialbruchzerlegung) ergibt:

2x3+3x+93x2=23x+3x+93x2


limx+23x+3x+93x2=limx+23x+3x(1+3x)3x2=limx+23x+1+3xx=

limx-23x+3x+93x2=limx-23x+3x(1+3x)3x2=limx-23x+1+3xx=-

Da der Term 1+3xx für sehr große und sehr kleine x-Werte gegen Null geht, bleibt nur 23x übrig.


Schiefe Asymptote:

g(x):=23x

Annäherung des Graphen an die Asymptote:

Für x>0 gilt:   1+3xx>0 Der Graph von f nähert sich der Asymptote von oben.

Für x<-3 gilt:   1+3xx<0 Der Graph von f nähert sich der Asymptote von unten.

Beispiel_2

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