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Aufgabe: Pyramide in einer Kugel
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Kugel, Pyramide, Volumen
 
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Tag Zusammen Ich muss folgende Aufgabe für Morgen lösen, leider komme ich auch nach langem Nachdenken nicht weiter. Hier die Aufgabe: Alle Kanten einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche haben die Länge s. Dieser Pyramide wird eine Kugel umbeschrieben. Berechnen Sie das Verhältnis Kugelvolumen zu Pyramidenvolumen. Lösung ist 2π(Pi) : 1 Leider habe ich keinen Lösungsweg dazu. Hier mein Ansatz: G = Grundfläche der Pyramide = s² Vp = Volumen der Pyramide = (1/3)*G*h Vk = Volumen des Kreises = (4π/3)r² Zuerst habe ich mal die Höhe der Pyramide ausgerechnet. - Ein Dreieck mit einem rechten Winkel - h = s/wrz(2) Danach konnte ich Vp ausrechnen - Vp = (1/3)*G*h = ((1/3)*s²)*(s/wrz(2)) = (s^3)/(3*wrz(2) Den Mittelpunkt (Mk) des Kreises habe ich danach einfach irgenwo auf die Höhenline der Pyramide gesetzt. Somit gleich von Mk zur Spitze der Pyramide r und zu einer Ecke der Pyramdie ebenfalls r. Somit konnte ich ein Gleichschenkliges Dreieck erstellen. Die Hypotenuse(c) gleich s und die Katheten gleich r. Jetzt kommt der Sinussatz zum Einsatz. Gamma = 120° c/sin(gamma) = 2r ---> s/sin(120) = 2r ---> r = (wrz(3)/3)*s Somit kann ich jetzt r audrücken. Leider funktionierte mein letzter Schritt mit der Gleichsetztung von Vp : Vk nicht, ich komme leider nicht auf das richtige Resultat. Vp : Vk (1/3)*G*h : (4π/3)r² (s^3)/(3*wrz(2) : (4π/3)*((wrz(3)/3)*s)² Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Danke Thommas Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Pyramide (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Volumen einer Pyramide Volumen und Oberfläche einer Pyramide |
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Zwei Pyramidenkanten, die von einander gegenüberliegenden Ecken der Pyramidengrundfläche kommen, treffen einander an der Pyramidenspitze und bilden dort einen rechten Winkel. Ein Kreis der Kugel, der durch die Spitze und durch die beiden Ecken geht, muss folglich der Thaleskreis über der Diagonale der Pyramidengrundfläche sein. Sein Mittelpunkt ist die Mitte der Grundfläche und sein Radius ist . Das Kugelvolumen ist dann . GRUSS, DK2ZA |
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Cool, danke. Bin eben auch grade vor 1 min. darauf gekommen. Aber jetzt konnte ich sogar meine Annahme bestätigen. Schönen Abend noch. Thommas |
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