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Aufleitung von e^(x^2)
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 19:08 Uhr, 12.06.2004  |
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Hallo! Nach welcher regel leitet man so eine funktion auf? nach der regel der partiellen integration oder mit dem substitutionsverfahren? gilt das gleiche dann auch bei z.b. e^(-x^3)? Wäre echt nett wenn ihr mir helfen würdet! Danke eure laura |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Hallo Laura! Ob man dieses Integral mit den dir bekannten Funktionen darstellen kann, weiß ich nicht. Aber probier's doch mal so: e^x ist definiert als: e^x := 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + (x^4)/24 + (x^5)/120 + .... ==> e^(x^2) = 1 + x^2 + (x^4)/2 + (x^6)/6 + .... Diese sogenannte "Reihe" kann man gliedweise integrieren, d. h. du kannst jeden Summanden einzeln integrieren: ==> Integral(e^(x^2)) = x + (x^3)/3 + (x^5)/10 + (x^7)/42 + .... Gruß |
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anonymous 18:13 Uhr, 14.06.2004 |
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wieso so umständlich?! wenn ich mirch noch recht an meine schulzeit errinnere, dann ist dich E^(x^2) das gleiche wie E^(2*x) (-> Formelsammlung)... und diese Funktion kann man dann einfach durch Substitution integrieren ... (innere Funktion: 2*x, äußere Funktion: E^x) int(E^(2*x), x) = (1/2)*E^(2*x) + C mfg nex |
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das erste zu kompliziert das zweite leider falsch ;P die eulersche funktion e wird nach folgender regel abgeleitet: f(x) =e^x f´(x) = (x)`*e^x in worten: die potenz von e wird ganz normal abgeleitet und von die eulersche Zahl geschrieben, die eulersche Zahl ändert sich aber im gegensatz zu normalen ableitungen nicht: bsp: x^2 wir abgeleitet zu 2x daraus folgt: x^2 e wird abgeleitet zu 2x*e^x^2 |
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anonymous 22:23 Uhr, 14.06.2004 |
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by the way: es ging ums Integrieren, nicht um differenzieren :P aber nix für ungut... mfg nex |
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Hallo nex, trotzdem gilt i.A. nicht: e^(x²)=e^(2x) Wenn das immer gelten würde, dann wäre (z.B. für x=4) e^(4²)=e^16=e^8=e^(2*4) (also insbesondere e^8=e^16), was aber schon deswegen nicht sein kann, weil die e-Funktion (nenne sie von mir aus auch Exponentialfunktion) streng monoton wachsend ist! (Deshalb gilt auf jeden Fall: e^16 > e^8, weil 16 > 8.) Was du meinst, ist folgende Regel: (e^x)²=e^(2x) (Hier passt das auch für x=4: (e^4)²=(e^4)*(e^4)=e^8 und e^(2*4)=e^8). Ich wüßte deswegen auch nichts besseres als das, was Clemens vorgeschlagen hat. Aber meines Wissens nach behandelt man das in der Schule nicht so, wie Clemens das getan hat. (Zumindest hatten wir es nicht so behandelt, weil ich mich an keine derartige Aufgabe aus meiner Schulzeit erinnern kann. Die e-Funktion hatten wir auch anders definiert... Warum man die Reihe so integrieren darf, wie Clemens das getan hat (also gliedweise integrieren), müßte man auch noch begründen. Egal, das geht jetzt 'etwas' über den Schulstoff hinaus!) Viele Grüße Marcel |
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achso Stammfunktion na genau wie die Ableitung oder? f(x)=e^(x^2) einfach die Stammfunktion bilden und die eulersche zahl nicht ändern (im gegensatz zur normalen regel wo der exponent um 1 erhöht wird) F(x)=(e^(x^2))/2x weil differenziert man F(x) wieder hat man wieder f(x) |
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Hallo Andre, dann leite mal F nach der Quotientenregel ab, und du wirst sehen, dass die Ableitung von F(x)=(e^(x^2))/(2x) nicht e^(x²) ergibt. Du mußt beim Ableiten sowie beim Integrieren immer darauf achten, dass gewisse (Rechen-)Regeln gelten. Du kannst nicht einfach e^(x²) nehmen, sagen: Gut, abgeleitet ist das 2xe^(x²), dann teile ich durch 2x. Denn dieses 2x ist eigentlich eine Funktion! Und deshalb mußt du beim Ableiten von F(x)=(e^(x^2))/(2x) auch beachten, dass im Nenner eine Funktion steht und deshalb die Quotientenregel Anwendung findet! Falls du mir nicht glaubst, dass F keine Stammfunktion ist: Durch Anwendung der Quotientenregel auf F(x)=u(x)/v(x)=(e^(x^2))/(2x) mit u(x):=e^(x²) und v(x):=2x kannst du nachrechnen: (e^(x^2))/(2x) ist keine Stammfunktion von e^(x²). Also: Bisher ist immer noch Clemens Vorschlag der einzig richtige. Wenn ihr nach einer alternativen Lösung sucht, so könnt ihr es mal mit partieller Integration versuchen. Ich glaube aber, dass man auch dort nichts "schöneres" herausbekommt (wenn man überhaupt was "einfaches" herausbekommt!?). Ich habe aber jetzt weder die Zeit, noch die Lust, das auszuprobieren! Viele Grüße Marcel |
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Nachtrag: Ich leite jetzt einmal F(x)=[e^(x²)]/(2x) ab, damit man auch sieht, dass F keine Stammfunktion von f(x)=e^(x²) ist. Leitet man g(x):=e^(x²) ab, so kann man das wie folgt machen: Sei r(x):=e^x und s(x):=x². Dann gilt g(x)=r(s(x)) für alle x. Nach der Kettenregel gilt dann: (I) g'(x)=r'(s(x))*s'(x), und weil r'(x)=e^x ==> (*) r'(s(x))=e^(s(x))=e^(x²) für alle x und (**) s'(x)=2x für alle x. Wir setzen (*) und (**) in (I) ein und erhalten: g'(x)=[e^(x²)]*2x=2xe^(x²) Grob formuliert heißt das: (II) [e^(x²)] ' = 2xe^(x²). Dies nutzen wir im Folgenden aus, um die Ableitung von F zu berechnen: Nach der Quotientenregel gilt (unter Beachtung von (II)):Also ist F(x)=[e^(x²)]/(2x) keine Stammfunktion von f(x)=e^(x²), weil die Funktion F' nicht identisch mit f ist. (Es ist z.B. für x=1: F'(1)=[e^1]*0=0, aber f(1)=e^(1²)=e^1=e > 0, d.h. F'(1) < f(1)) PS: Wenn man jetzt ganz penibel sein will, muss man bei der Definition von F auch schon beachten: F(0) existiert nicht etc., d.h., man sollte drauf achten, dass F überhaupt nur auf IR\{0} definiert ist und sonstige Kleinigkeiten. Dann wäre die Frage: Wenn man F so wie oben auf IR\{0} definiert, ist es dann vielleicht möglich, F an der Stelle 0 so zu definieren, dass F in 0 diff'bar ist und dann für diese Funktion die Ableitung f ergibt? (Konkret heißt das: Sei G:IR -> IR mit G(x):=F(x)=[e^(x²)]/(2x) für alle x aus IR\{0} und G(0):=?, wobei wir uns fragen, ob wir das Fragezeichen durch Angabe eines Wertes so festlegen können, dass G in 0 diff'bar ist. Könnte es dann sein, dass G'=f gilt?) Antwort: Nein! Denn meine obige Rechnung zeigt, dass auch dann die Ableitung an der Stelle 1 nicht mit f(1)=e übereinstimmt! (d.h. es gilt dann auch für G: (III) G'(1)=F'(1)=0 < e=f(1).) (und die Frage nach der Diff'barkeit in 0 wäre damit auch uninteressant, d.h. es kann uns völlig egal sein, was wir anstelle des Fragezeichens einsetzen, es wird wegen (III) immer so sein, dass G' ungleich f gilt!) (Man beachte hierbei: Ich habe geschrieben: G' ist ungleich f. Das heißt nur, dass G' eine andere Funktion wie die Funktion f ist! Das heißt nicht, dass für alle x: G'(x) ungleich f(x) gilt! Es kann schon gewisse x_0 geben, die die Gleichung G'(x_0)=f(x_0) erfüllen.) Viele Grüße Marcel |
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