 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Aussagenlogik - Irrationalität aus Wurzel 2
Aussagenlogik - Irrationalität aus Wurzel 2
Schüler Gymnasium,
Tags: Aussagenlogik, Irrationalität
 
|
  |
|---|
|
Hey, eigentlich ist mir der Beweis, dass Wurzel 2 irrational relativ verständlich. Wie auch der Beweis, dass die Wurzel jeder Primzahl irrational ist. Nun habe ich mir aus mathematischen Interesse, und weil ich nichts zu tuen habe, das Buch: Mathematik für Wirtschaftsingenieure gekauft. Anspruchsvoll für 11. Klasse, aber nicht vollkommen unverständlich. Dort habe ich mir die Aussagenlogik angeschschaut, darunter auch die Implikation. Nachdem ich das alles durchdacht habe und die Implikation, für ein verständliches Beispiel, googelte, wird hier nun, als ein Beispiel, die Irrationalität von Wurzel 2 bewiesen. A: p und q sind Teilerfremd. B: sqrt{2} != p/q ... Soweit so gut... Nun kommen aber mathematische Umformungen mit Implikationspfeilen und das versteh ich nicht. !B: sqrt(2) = p/q --> 2 = p^2/q^2 Was bedeutet das? Der Ausdruck bedeutet ja, wenn p/q = sqrt(2) wahr ist, dann bedeutet, dass das p/q --> 2 = p^2/q^2 nur dann wahr ist, wenn 2 = p^2/q^2 wahr ist. Aber wenn p/q = sqrt(2) falsch ist, dann ist p/q --> 2 = p^2/q^2 immer wahr. Die erste Frage also: Was bedeuten die Implikationspfeile in diesem Fall? Zur zweiten Frage: Der Beweis zeigt ja: !B --> !A Aber was sagt diese Aussage jetzt über B aus? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) |
|
 |
|
Die Aussage soll bewiesen werden, nämlich dass sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrücken lässt. Der Beweis wird indirekt geführt, als man nimmt an, dass nicht gilt und formt dann so weit um, bis man auf einen Widerspruch kommt. bedeutet nur, dass man eben von der Negation von ausgeht, also annimmt, es gäbe zwei teilerfremde ganze Zahlen und deren Verhältnis genau ist. Und nun wird diese Gleichung quadriert. Quadrieren ist zwar keine Äquivalenzumformung, weil es sein kann, dass dabei aus einer falschen Aussage eine richtige wird. Umgekehrt kanns allerdings nicht passieren und deswegen ist der Implikationspfeil durchaus korrekt. Wenn es also diese beiden Zahlen und gäbe, für die gilt, dann gilt sicher auch . Am Ende ist tatsächlich der Widerspruch zu A gegeben, also gezeigt und das ist gleichbedeutend mit . . egal welche teilerfremden Zahlen und man nimmt, ihr Quotient ist sicher nicht . |
 |
|
Die 2. Frage hat sich jetzt beantwortet. Danke dir! Die Implikationspfeile versteh ich dennoch noch nicht. Natürlich muss gelten, wenn 3+1=4 (A) wahr ist, dann ist auch 3=4-1(B) wahr. Aber nach Implikation wäre ja auch das wahr. 3+2 = 4 --> Alle gelben Dinge sind gelb. Das versteh ich nicht. Als ob das eine das andere Impliziert. Aus 3+1=4 folgt 3=4-1, aber ich verstehe nicht warum man sagt 3+1=4 impliziert 3=4-1, da Alle Autos sind BMWs (falsch), nach Definition 3 = 4+1 auch impliziert. |
|
|
|
Aus Falschem folgt Beliebiges. Die Implikation wird erst interessant, wenn der linke Teil wahr ist. Aus folgt beispielsweise (die umgekehrte Richtung gilt aber nicht). Und so folgt aus der Annahme in gleicher Weise . Man geht bei der Beweisführung ja zunächst davon aus, dass wahr ist und wenn das wahr ist, dann muss zwangsläufig auch wahr sein. Usw. und am Ende steht dann eben, dass und nicht teilerfremd sind, also ein Widerspruch zur getroffenen Annahme, also etwas Falsches. Daher muss auch die Annahme falsch gewesen sein. |
 |
|
Hey, alles klar jetzt habe ich es verstanden! Danke! |
1406950
1406904