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Berechnen einer Summe aus Tetraederzahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: berechnen, Pascalsches Dreieck, rechnung, Summe, Summenformel, tetraeder, Zahl

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19:34 Uhr, 09.11.2016

Guten Abend!

Ich verstehe eine Teilaufgabe aus einer Aufgabe auf meinem Mathe-Übungsblatt nicht. Das ist ein wenig kompliziert zu erklären, doch ich versuche es mal. Und zwar sollten wir gedanklich aus Kugeln einen Tetraeder bauen, die Anzahl der für den n-schichtigen Tetraeder benötigten Kugeln bezeichneten wir als

T_{n}

und wir sollten das Ganze mit dem Pascalschen Dreieck in Verbindung setzen, dessen Dreieckszahlen wir wiederum mit Dn bezeichneten.

T_{n}

bezeichneten wir außerdem mit dem Binomialkoeffizienten

(\begin{matrix} n + 2 \\ 3 \end{matrix})

Nun sollten wir eine Pyramide bauen, sodass wir in jeder Ebene ein Quadrat aus Kugeln haben und die Anzahl der benötigten Kugeln für die n-te Schicht bestimmten wir als

P_{n} = T_{n} + T_{n - 1}

mit

n \in ℕ

und

n \geq 2

.
In einer der Teilaufgaben sollten wir dann die Summe

\sum_{k = 1}^{n} k^{2}

berechnen und wir vermuten, dass wir sie mit der Gleichung

T_{n} + T_{n - 1}

gleichsetzen sollen, da beides das Gleiche beschreibt, nämlich

P_{n}

. Wenn ich das allerdings tue und für

n = 1

einsetze, bekomme ich das hier heraus:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = (\begin{matrix} n + 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} (n - 1) + 2 \\ 3 \end{matrix})

\sum_{k = 1}^{1} 1^{2} = (\begin{matrix} 1 + 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 + 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

Und gemäß dem Satz

1.5

der Kombinatorik dann

\sum_{k = 1}^{1} 1 = \frac{3!}{3! \cdot (1 - 1)!} + \frac{2!}{3! \cdot (1 - 1)!} = \frac{6}{6 \cdot 1} + \frac{2}{6 \cdot 1} = 1 + \frac{1}{3} \neq 1

Wo liegt mein Denkfehler? Eine Kommilitonin hat mir erzählt, dass

0! = 1,

aber irgendwie hat mir das nur eine weitere schlechte Lösung verpasst. Wir sollen die Summenformel in der letzten Teilaufgabe auch noch mittels vollständiger Induktion beweisen, deswegen muss ich das erst verstanden haben, bevor ich mich an die Induktion wagen kann.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Werner-Salomon aktiv_icon

21:27 Uhr, 09.11.2016

Hallo,

das Problem liegt wohl bei dem Ausdruck

(\binom{n}{k})

mit

n < k

. Schau Dir dazu mal die Definition bei Wikipedia an: de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Definition
Die 'Abkürzung' mit der Fakultät gilt nur für

n \geq k

. Im Fall von

n < k

wird einer der Faktoren und damit der gesamte Wert zu 0.

Und ein

T_{0}

ist doch eher 0 - aber bestimmt nicht

\frac{1}{3}

. Starte lieber mit

n = 2

.

Gruß
Werner

TtRatKb aktiv_icon

22:23 Uhr, 09.11.2016

Vielen Dank!
Ich habe jetzt die Lösung, für

n = 2

ist es trotzdem irgendwie falsch, aber schon okay, ich hab jetzt wenigstens etwas, was logisch ist :-)

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